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【八年级数学(上)全册教案(新人教版)】 初中数学电子课本

发布时间:2020-09-26 00:09:31 影响了:

第十一章 全等三角形 11.1全等三角形 教学目标:
1了解全等形及全等三角形的的概念;

2 理解全等三角形的性质;

3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念,培养学生的几何直觉;

4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。

重点:探究全等三角形的性质 难点:掌握两个全等三角形的对应边,对应角 教学过程:
观察下列图案,指出这些图案中中形状与大小相同的图形 问题:你还能举出生活中一些实际例子吗? 这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 引导学生完成课本P3思考:
归纳: 一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用“≌”表示,读作“全等于” 两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如⊿ABC和⊿DEF全等时,点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点,记作⊿ABC≌⊿DEF。把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角 思考:如课本P3思考图11.1-1中,⊿ABC≌⊿DEF,对应边有什么关系?对应角呢? 归纳: 全等三角形性质:
全等三角形的对应边相等;

全等三角形的对应角相等。

思考:
(1)下面是两个全等的三角形,按下列图形的位置摆放,指出它们的对应顶点、对应边、对应角 (2)将⊿ABC沿直线BC平移,得到⊿DEF,说出你得到的结论,说明理由? (3)如图,⊿ABE≌⊿ACD, AB与AC,AD与AE是对应边,已知:∠A=43°,∠B=30°,求∠ADC的大小。

作业:P4习题11.1第1,2,3题。

课题:11.2 三角形全等的判定(1) 教学目标 ①经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程. ②掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性. ③通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神. 教学难点 三角形全等条件的探索过程. 一、复习过程,引入新知 多媒体显示,带领学生复习全等三角形的定义及其性质,从而得出结论:全等三角形三条边对应相等,三个角分别对应相等.反之,这六个元素分别相等,这样的两个三角形一定全等. 二、创设情境,提出问题 根据上面的结论,提出问题:两个三角形全等,是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢? 组织学生进行讨论交流,经过学生逐步分析,各种情况逐渐明朗,进行交流予以汇总归纳. 三、建立模型,探索发现 出示探究1,先任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C',满足上述条件中的一个或两个.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 让学生按照下面给出的条件作出三角形. (1)三角形的两个角分别是30°、50°. (2)三角形的两条边分别是4cm,6cm. (3)三角形的一个角为30°,—条边为3cm. 再通过画一画,剪一剪,比一比的方式,得出结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等. 出示探究2,先任意画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗? 让学生充分交流后,在教师的引导下作出△A'B'C',并通过比较得出结论:三边对应相等的两个三角形全等. 四、应用新知,体验成功 实物演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架,它的大小和形状是固定不变的. 鼓励学生举出生活中的实例. 给出例l,如下图△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证△ABD≌△ACD. 让学生独立思考后口头表达理由,由教师板演推理过程. 例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图,作法如下:
①以A为圆心画弧,分别交角的两边于点B和点C;

②分别以点B、C为圆心,相同长度为半径画两条弧,两弧交于点D;

③画射线AD. AD就是∠BAC的平分线.你能说明该画法正确的理由吗? 例3 如图四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试. 五、巩固练习:课本P8页的练习. 六、反思小结 回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论,提炼数学思想,掌握数学规律. 七、布置作业 课本P15习题11.2第1、2题. . 课题:11.2 三角形全等的判定2) 教学目标 ①经历探索三角形全等条件的过程,培养学生观察分析图形能力、动手能力. ②在探索三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理. ③通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神. 教学难点 指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件. 知识重点 应用“边角边”证明两个三角形全等,进而得出线段或角相等. 教学过程(师生活动) 一、情境,引入课题 多媒体出示探究3:已知任意△ABC,画△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A. 教帅点拨,学生边学边画图,再让学生把画好的△A'B'C',剪下放在△ABC上,观察这两个三角形是否全等. 二、交流对话,探求新知 根据前面的操作,鼓励学生用自己的语言来总结规律:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS) 补充强调:角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两对边. 三、应用新知,体验成功 出示例2,如图,有—池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么? 让学生充分思考后,书写推理过程,并说明每一步的依据. (若学生不能顺利得到证明思路,教师也可作如下分析:
要想证AB=DE, 只需证△ABC≌△DEC △ABC与△DEC全等的条件现有……还需要……) 明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决. 补充例题:
1、已知:如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 求证:
△ABD≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE(已知) ∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE AB=AC(已知) ∠BAD= ∠CAE (已证) AD=AE(已知) ∴△ABD≌△ACE(SAS) 思考:
求证:1.BD=CE 2. ∠B= ∠C 3. ∠ADB= ∠AEC 变式1:已知:如图,AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE. 求证:
△DAC≌△EAB BE=DC ∠B= ∠ C ∠ D= ∠ E BE⊥CD 四、再次探究,释解疑惑 出示探究4,我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法,得出结论:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 教师演示:方法(一)教科书10页图11.2-7. 方法(二)通过画图,让学生更直观地获得结论. 五、巩固练习 课本P10页,练习1、2. 六、小结提高 1.判定三角形全等的方法;

2.证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述,其他学生补充,让学生自己将知识系统化,以自己的方式进行建构. 七、布置作业 1.课本P15页,习题11.2第3、4题. 2.选作题:
(1)小明做了一个如图所示的风筝,测得DE=DF,EH=FH,你能发现哪些结沦?并说明理由. (2)如图,∠1=∠2,AB=AD,AE=AC,求证BC=DE. 课题:
11.2 三角形全等的判定(3) 教学目标 ①探索并掌握两个三角形全等的条件:“ASA”“AAS”,并能应用它们判别两个三角形是否全等. ②经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;
并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维. ③敢于面对教学活动中的困难,能通过合作交流解决遇到的困难. 教学重点 理解,掌握三角形全等的条件:“ASA”“AAS”. 教学难点 探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用. 教学过程(师生活动) 创设情境 复习:
师:我们已经知道,三角形全等的判定条件有哪些? 生:“SSS”“SAS” 师:那除了这两个条件,满足另一些条件的两个三角形是否 也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。

探究新知:
一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了,如图,你能制作一张与原来 同样大小的新教具?能恢复原来三角形 的原貌吗? 1.师:我们先来探究第一种情况.(课件出示“探究5……”) (1)探究5 先任意画出一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗? 师:怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考,动手画一画。

在画的过程中若遇到不能解决的问题.可小组合作交流解决. 生:独立探究,试着画△A'B'C',(有问题的,可以小组内交流解决……)…… (2)全班讨论交流 我们又增加了—种判别三角形全等的方法.特别应 注意,“边”必须是“两角的夹边”. 练习:已知:如图,AB=A’C,∠A=∠A’,∠B=∠C 求证:△ABE≌ △A’CD 例1. 已知:点D在AB上,点E在AC上,BE和CD 相交于点O,AB=AC,∠B=∠C。

求证:BD=CE 2.探究6 师:我们再看看下面的条件:
在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗? 师:看已知条什,能否用“角边角”条件证明. 师:你是怎么证明的? (根据学生的不同探究结果,进行不同的引导) 师:从这可以看出,从这些已知条件中能得出两个三角形全等.这又反映了一个什么规律? 师:生1很好,这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”,又增加了判定两个三角形全等的一个条件. 强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”. 多让几个学生描述,进一步培养归纳、表达的能力. 例2.课本P12页例3。

师:从这道例题中,我们又得出了证明线段相等的又一方法,先证两线段所在的三角形全等,这样,对应边也就相等了. 探究7:
(1)三角对应相等的两个三角形全等吗? 师:想想,怎样来探究这个问题? 引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”,看是否一定全等,或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明. 师:这一规律我们可以怎样表达? (2)师:说得非常好.现在我们来小结一下;
判定两个三角形全等我们已有了哪些方法? SSS SAS ASA AAS 小结提高 师:这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究,你有什么收获? 巩固练习 课本P13页,练习1、2. 布置作业 1.课本P15页习题11.2第6、11题 2.如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以,带哪块去合适?为什么? 课题:
11.2 三角形全等的判定(4) 教学目标 ①探索并掌握两个直角三角形全等的条件:HL,并能应用它判别两个直角三角形是否全等. ②经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;
并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维. ③提高应用数学的意识. 教学重点 理解,掌握三角形全等的条件:HL. 教学过程: 提问:
1、判定两个三角形全等方法有:
, , , 。

创设情境:
(显示图片),舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. (1)你能帮他想个办法吗? 方法一:测量斜边和一个对应的锐角. (AAS) 方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS) ⑵ 如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗? 下面让我们一起来验证这个结论。

新课:
已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α,利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α ,CB=a,AB=c. 想一想,怎样画呢? 按照下面的步骤做一做:
⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ⑵ 在射线CM上截取线段CB=a ⑶ 以B为圆心,C为半径画弧,交射线CN于点A; ⑷ 连接AB. ⑴ △ABC就是所求作的三角形吗? ⑵ 剪下这个三角形,和其他同学所作的三角形进行比较,它们能重合吗? 直角三角形全等的条件 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. 想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等? 直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般 三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS, 还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”. 练一练:
1. 如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上, 另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗?请说明你的理由。

2.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾 斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系? 解:∠ABC+∠DFE=90°.理由如下:
在Rt△ABC和Rt△DEF中, 则 BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). 又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°. 小结:这节课你有什么收获呢?与你的同伴进行交流 作业:课本P16页第7、8题。

§11.3.1 角的平分线的性质(一) 教学目标 (一)教学知识点 角平分线的画法. (二)能力训练要求 1.应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理. 2.会用尺规作一个已知角的平分线. (三)情感与价值观要求 在利用尺规作图的过程中,培养学生动手操作能力与探索精神. 教学重点:利用尺规作已知角的平分线. 教学难点:角的平分线的作图方法的提炼. 教学过程:
一.提出问题,创设情境 问题1:三角形中有哪些重要线段. 问题2:你能作出这些线段吗? 如果老师手里只有直尺和圆规,你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗? 二.导入新课 议一议:下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗? 教师活动:
演示角平分仪器的操作过程,使学生直观了解得到射线AC的方法. AB=AD BC=DC AC=AC 所以△ABC≌△ADC(SSS). 所以∠CAD=∠CAB. 即射线AC就是∠DAB的平分线. 老师再提出问题:
通过上述探究,能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得. (分小组完成这项活动,教师可参与到学生活动中,及时发现问题,给予启发和指导,使讲评更具有针对性) 讨论结果展示:
作已知角的平分线的方法:
已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. 作法:
(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N. (2)分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C. (3)作射线OC,射线OC即为所求. (教师根据学生的叙述,作多媒体课件演示,使学生能更直观地理解画法,提高学习数学的兴趣). 议一议:
1.在上面作法的第二步中,去掉“大于MN的长”这个条件行吗? 2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗? (设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解,培养数学严密性的良好学习习惯) 学生讨论结果总结:
1.去掉“大于MN的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线. 2.若分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB的内部,也可能在∠AOB的外部,而我们要找的是∠AOB内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了. 3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,所以第二步中的两个限制缺一不可. 4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明. 练一练:任意画一角∠AOB,作它的平分线. 三.随堂练习:课本P19练习. 练后总结:
平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直.将OC反向延长得到直线CD,直线CD与AB也垂直. 四.课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法. 五.课后作业 课本P22习题11.2第1、2题. §11.3.2 角的平分线的性质(二) 教学目标 (一)教学知识点:角的平分线的性质 (二)能力训练要求 1.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”. 2.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题. (三)情感与价值观要求 通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力,激发学生学习数学的兴趣. 教学重点:角平分线的性质及其应用. 教学难点:灵活应用两个性质解决问题. 教学方法:探索、归纳的方法. 教学过程 一.创设情境,引入新课 [师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折的纸片再任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么? 二.导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线,能推出什么样的结论. 操作:
1.折出如图所示的折痕PD、PE. 2.你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求. 画一画:
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕,并度量所画PD、PE是否等长? 拿出两名同学的画图,放在投影下,请大家评一评,以达明确概念的目的. 问题1:你能用文字语言叙述所画图形的性质吗? 问题2:(出示投影片) 能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.请填下表:
学生通过讨论作出下列概括:
已知事项:OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足. 由已知事项推出的事项:PD=PE. 于是我们得角的平分线的性质:
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?(出示投影) 问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:
下面请同学们思考一个问题. 思考:如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20000)? 1.集贸市场建于何处,和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题? 2.比例尺为1:20000是什么意思? 讨论结果展示:
1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上,并且要求离角的顶点500米处. 2.在纸上画图时,我们经常在厘米为单位,而题中距离又是以米为单位,这就涉及一个单位换算问题了. 1m=100cm,所以比例尺为1:20000,其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思.作图如下:
第一步:尺规作图法作出∠AOB的平分线OP. 第二步:在射线OP上截取OC=2.5cm,确定C点,C点就是集贸市场所建地了. 总结:应用角平分线的性质,就可以省去证明三角形全等的步骤,使问题简单化.所以若遇到有关角平分线,又要证线段相等的问题,我们可以直接利用性质解决问题. [例]如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等. [师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离,也就是说要证:PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线,根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题. 证明:过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足为D、E、F. 因为BM是△ABC的角平分线,点P在BM上. 所以PD=PE. 同理PE=PF. 所以PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 三.随堂练习 1.课本P22练习. 2.课本P22习题11.3第3题. 在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质,无须再证三角形全等. 四.课时小结 今天,我们学习了关于角平分线的两个性质:①角平分线上的点到角的两边的距离相等;
②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性,可以看出,随着研究的深入,解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,我们可以直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等而得出线段相等. 五.课后作业:课本P22页习题11.3第4、5、6题. 第十二章 轴对称 §12.1 轴对称(一) 教学目标 1.在生活实例中认识轴对称图. 2.分析轴对称图形,理解轴对称的概念. 教学重点:轴对称图形的概念. 教学难点:能够识别轴对称图形并找出它的对称轴. 教学过程 Ⅰ.创设情境,引入新课 我们生活在一个充满对称的世界中,许多建筑物都设计成对称形,艺术作品的创作往往也从对称角度考虑,自然界的许多动植物也按对称形生长,中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!初步掌握对称的奥秒,不仅可以帮助我们发现一些图形的特征,还可以使我们感受到自然界的美与和谐. 轴对称是对称中重要的一种,从这节课开始,我们来学习第十二章:轴对称.今天我们来研究第一节,认识什么是轴对称图形,什么是对称轴. Ⅱ.导入新课 出示课本的图片,观察它们都有些什么共同特征. 这些图形都是对称的.这些图形从中间分开后,左右两部分能够完全重合. 小结:对称现象无处不在,从自然景观到分子结构,从建筑物到艺术作品,甚至日常生活用品,人们都可以找到对称的例子.现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子. 结论:如果一个图形沿一直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 了解了轴对称图形及其对称轴的概念后,我们来做一做. 取一张质地较硬的纸,将纸对折,并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案,将纸打开后铺平,你得到两个成轴对称的图案了吗?与同伴进行交流. 结论:位于折痕两侧的图案是对称的,它们可以互相重合. 由此可以得到轴对称图形的特征:一个图形沿一条直线折叠后,折痕两侧的图形完全重合. 接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题.有些轴对称图形的对称轴只有一条,但有的轴对称图形的对称轴却不止一条,有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。

下列各图,你能找出它们的对称轴吗? 结果:图(1)有四条对称轴;
图(2)有四条对称轴;
图(3)有无数条对称轴;
图(4)有两条对称轴;
图(5)有七条对称轴. (1) (2) (3) (4) (5)展示挂图,大家想一想,你发现了什么? 像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点. Ⅲ.随堂练习:课本P30练习和 P31练习 Ⅳ.课时小结 这节课我们主要认识了轴对称图形,了解了轴对称图形及有关概念,进一步探讨了轴对称的特点,区分了轴对称图形和两个图形成轴对称. Ⅴ.作业:课本P36习题12.1第1、2、6、7、8题. Ⅵ.活动与探究:课本P31思考. 成轴对称的两个图形全等吗?如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等吗?这两个图形对称吗? 过程:在硬纸板上画两个成轴对称的图形,再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合.再在硬纸板上画出一个轴对称图形,然后将该图形剪下来,再沿对称轴剪开,看两部分是否能够完全重合. 结论:成轴对称的两个图形全等.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形全等,并且也是成轴对称的. 轴对称是说两个图形的位置关系,而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形. 轴对称的两个图形和轴对称图形,都要沿某一条直线折叠后重合;
如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;
反过来,如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形. 板书设计 §12.1 轴对称(一) 一、轴对称:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形就叫轴对称图形,这条直线叫对称轴. 二、两个图形成轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称. §12.1 轴对称(二) 教学目标 1.了解两个图形成轴对称性的性质,了解轴对称图形的性质. 2.探究线段垂直平分线的性质. 3.经历探索轴对称图形性质的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察. 教学重点; 1.轴对称的性质. 2.线段垂直平分线的性质. 教学难点:
体验轴对称的特征. 教学过程:
Ⅰ.创设情境,引入新课 上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢? 今天继续来研究轴对称的性质. Ⅱ.导入新课:观看投影并思考. 如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点,线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系? 图中A、A′是对称点,AA′与MN垂直,BB′和CC′也与MN垂直. AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗? △ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点,设AA′交对称轴MN于点P,将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后,点A与A′重合,于是有AP=A′P,∠MPA=∠MPA′=90°.所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外,MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点. 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线. 下面我们来探究线段垂直平分线的性质. [探究1] 如下图.木条L与AB钉在一起,L垂直平分AB,P1,P2,P3,…是L上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现? 1.用平面图将上述问题进行转化,先作出线段AB,过AB中点作AB的垂直平分线L,在L上取P1、P2、P3…,连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 2.作好图后,用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律. 探究结果:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即AP1=BP1,AP2=BP2,… [探究2] 如右图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢?为什么? 活动:1.用平面图形将上述问题进行转化.作线段AB,取其中点P,过P作L,在L上取点P1、P2,连结AP1、AP2、BP1、BP2.会有以下两种可能. 2.讨论:要使L与AB垂直,AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件? 探究过程:
1.如上图甲,若AP1≠BP1,那么沿L将图形折叠后,A与B不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即L与AB不垂直. 2.如上图乙,若AP1=BP1,那么沿L将图形折叠后,A与B恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即L与AB重合.当AP2=BP2时,亦然. 探究结论:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.也就是说在[探究2]图中,只要使箭端到弓两端的端点的距离相等,就能保持射出箭的方向与木棒垂直. [师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质,即:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;
反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. Ⅲ.随堂练习:
课本P34练习 1、2. Ⅳ.课时小结 这节课通过探索轴对称图形对称性的过程,了解了线段的垂直平分线的有关性质,同学们应灵活运用这些性质来解决问题. Ⅴ.课后作业:
课本P36习题12.1第3、4、9题. 板书设计 §12.1 轴对称(二) 一、复习:轴对称图形. 二、线段垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做线段的垂直平分线. 三、图形轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线. 四、线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等;
反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上. §12.2.1 作轴对称图形 教学目标 1.通过实际操作,了解什么叫做轴对称变换. 2.如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形. 教学重点 1.轴对称变换的定义. 2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形. 教学难点 1.作出简单平面图形关于直线的轴对称图形. 2.利用轴对称进行一些图案设计. 教学过程 Ⅰ.设置情境,引入新课 在前一个章节,我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题.在上节课的作业中,我们有个要求,让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法,现在来看一下同学们完成的怎么样. 将一张纸对折后,用针尖在纸上扎出一个图案,将纸打开后铺平,得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形. 准备一张质地较软,吸水性能好的纸或报纸,在纸的一侧上滴上一滴墨水,将纸迅速对折,压平,并且手指压出清晰的折痕.再将纸打开后铺平,位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的. 这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形. Ⅱ.导入新课 由我们已经学过的知识知道,连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 类似地,我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形,重复这个过程,可以得到美丽的图案。对称轴方向和位置发生变化时,得到的图形的方向和位置也会发生变化.大家看大屏幕,从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置,体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途. 下面,同学们自己动手在一张纸上画一个图形,将这张纸折叠描图,再打开看看,得到了什么?改变折痕的位置并重复几次,又得到了什么?同学们互相交流一下. 结论:由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同;
新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线L的对称点;
连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的. 取一张长30厘米,宽6厘米的纸条,将它每3厘米一段,一正一反像“手风琴”那样折叠起来,并在折叠好的纸上画上字母E,用小刀把画出的字母E挖去,拉开“手风琴”,你就可以得到以字母E为图案的花边.回答下列问题. (1)在你所得的花边中,相邻两个图案有什么关系?相间的两个图案又有什么关系?说说你的理由. (2)如果以相邻两个图案为一组,每一组图案之间有什么关系?三个图案为一组呢?为什么? (3)在上面的活动中,如果先将纸条纵向对折,再折成“手风琴”,然后继续上面的步骤,此时会得到怎样的花边?它是轴对称图形吗?先猜一猜,再做一做. 注:为了保证剪开后的纸条保持连结,画出的图案应与折叠线稍远一些. (三)回顾本节课内容,然后小结. Ⅳ.课时小结 本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形,并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案.在利用轴对称变换设计图案时,要注意运用对称轴位置和方向的变化,使我们设计出更新疑独特的美丽图案. Ⅴ.动手并思考 (一)如下图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的角形沿黑色线剪开,去掉含90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺平. (1)你会得怎样的图案?先猜一猜,再做一做. (2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试. (3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再沿圆弧剪开,去掉较小部分,展开后结果又会怎样?为什么? (4)当纸对折2次后,剪出的图案至少有几条对称轴?3次呢? 答案:(1)得到一个有2条对称轴的图形. (2)按照上面的做法,实际上相当于折出了正方形的2条对称轴;
因此(1)中的图案一定有2条对称轴. (3)按题中的方式将正方形对折3次,相当于折出了正方形的4条对称轴,因此得到的图案一定有4条对称轴. (4)当纸对折2次,剪出的图案至少有2条对称轴;
当纸对折3次,剪出的图案至少有4条对称轴. (二)自己设计并制作一个花边. 作业:P45习题12.2第1、5题 板书设计 §12.2.1.1 作轴对称图形 一.如何由一个平面图形得到它的轴对称图形.二。

利用轴对称设计图案 12.2 .2 用坐标表示轴对称 教学目标 1、在平面直角坐标系中,确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系,2、2、再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形 教学重点:用坐标表示轴对称 教学难点:利用转化的思想,确定能代表轴对称图形的关键点 教学过程:
一、复习轴对称图形的有关性质 二、新授:
1.学生探索:
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标(x,-y);
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标(-x,y);
点(x,y)关于原点对称的点的坐标(-x,-y) 2.例3 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1)、B(-2,1)、C(-2,5)、D(-5,4),分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形. (1)归纳:与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律;

(2)学生画图 (3)对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标,描出并顺次连接这些特殊点,就可以得到这个图形的轴对称图形. 3、探究问题 分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=-1(记为n)对称的图形,你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗? (1)学生画图,由具体的数据,发现它们的对应点的坐标之间的关系 (2)若△PQR中P(x,y)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P (x,y) , 则,y= y。

若△PQR中P(x,y)关于y=-1(记为n)轴对称的点的坐标P (x,y) , 则x= x,=n. 三、练习:课本P44第1、2、3题 四、作业:课本P45第2、3、4、6题 §12.3.1.1 等腰三角形(一) 教学目标 1.等腰三角形的概念. 2.等腰三角形的性质. 3.等腰三角形的概念及性质的应用. 教学重点:
1.等腰三角形的概念及性质. 2.等腰三角形性质的应用. 教学难点:等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用. 教学过程 Ⅰ.提出问题,创设情境 在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形? 有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是. 问题:那什么样的三角形是轴对称图形? 满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形. 我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形. Ⅱ.导入新课:
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形. 作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连结AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形. 等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角. 思考:
1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴. 2.等腰三角形的两底角有什么关系? 3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗? 4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢? 结论:等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线. 要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系. 沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高. 由此可以得到等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”). 由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程). [例1]如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD, 求:△ABC各角的度数. 分析:根据等边对等角的性质,我们可以得到 ∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC, 再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A. 再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC的三个内角. 把∠A设为x的话,那么∠ABC、∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷. 解:因为AB=AC,BD=BC=AD, 所以∠ABC=∠C=∠BDC. ∠A=∠ABD(等边对等角). 设∠A=x,则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得x=36°. 在△ABC中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°. [师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识. Ⅲ.随堂练习:1.课本P51练习 1、2、3. 2.阅读课本P49~P51,然后小结. Ⅳ.课时小结 这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等(等边对等角),等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高. 我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应用它们. Ⅴ.作业:
课本P56习题12.3第1、2、3、4题. 板书设计 12.3.1.1 等腰三角形 一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质:
1.等边对等角 2.三线合一 §12.3.1.1 等腰三角形(二) 教学目标 1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论 2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系. 教学重点:等腰三角形的判定定理及推论的运用 教学难点:正确区分等腰三角形的判定与性质,能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系. 教学过程:
一、复习等腰三角形的性质 二、新授:
 I提出问题,创设情境 出示投影片.某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(B点)为B标,然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30°,这时,地质专家测得AC的长度就可知河流宽度. 学生们很想知道,这样估测河流宽度的根据是什么?带着这个问题,引导学生学习“等腰三角形的判定”. II引入新课   1.由性质定理的题设和结论的变化,引出研究的内容——在△ABC中,苦∠B=∠C,则AB= AC吗?    作一个两个角相等的三角形,然后观察两等角所对的边有什么关系?   2.引导学生根据图形,写出已知、求证.   2、小结,通过论证,这个命题是真命题,即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称).   强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据,类似于性质定理可简称“等角对等边”.   4.引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据.  III例题与练习   1.如图2   其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]   2.①如图3,已知△ABC中,AB=AC.∠A=36°,则∠C______(根据什么?).   ②如图4,已知△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,△ABC是______三角形(根据什么?).   ③若已知∠A=36°,∠C=72°,BD平分∠ABC交AC于D,判断图5中等腰三角形有______.   ④若已知 AD=4cm,则BC______cm.   3.以问题形式引出推论l______.   4.以问题形式引出推论2______. 例:
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,求证这个三角形是等腰三角形.   分析:引导学生根据题意作出图形,写出已知、求证,并分析证明. 练习:5.(l)如图6,在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE//BC,交AB于点D,交AC于E.问图中哪些三角形是等腰三角形? (2)上题中,若去掉条件AB=AC,其他条件不变,图6中还有等腰三角形吗? 练习:P53练习1、2、3。

 IV课堂小结   1.判定一个三角形是等腰三角形有几种方法?   2.判定一个三角形是等边三角形有几种方法?   3.等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系?   4.现在证明线段相等问题,一般应从几方面考虑? V布置作业:P56页习题12.3第5、6题 12.3.2 等边三角形(一) 教学目的 1、使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。

2、熟识等边三角形的性质及判定. 教学重点:等腰三角形的性质及其应用。

教学难点:简洁的逻辑推理。

教学过程 一、复习巩固 1.叙述等腰三角形的性质,它是怎么得到的? 等腰三角形的两个底角相等,也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折,折叠两部分是互相重合的,即AB与AC重合,点B与点 C重合,线段BD与CD也重合,所以∠B=∠C。

等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线和底边上的高线互相重合,简称“三线合一”。由于AD为等腰三角形的对称轴,所以BD= CD,AD为底边上的中线;
∠BAD=∠CAD,AD为顶角平分线,∠ADB=∠ADC=90°,AD又为底边上的高,因此“三线合一”。

2.若等腰三角形的两边长为3和4,则其周长为多少? 二、新课 在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底边与腰相等,这时,三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

等边三角形具有什么性质呢? 1.请同学们画一个等边三角形,用量角器量出各个内角的度数,并提出猜想。

2.你能否用已知的知识,通过推理得到你的猜想是正确的? 等边三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠B=C,又由∠A+∠B+∠C=180°,从而推出∠A=∠B=∠C=60°。

3.上面的条件和结论如何叙述? 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。

等边三角形是轴对称图形吗?如果是,有几条对称轴? 等边三角形也称为正三角形。

例1.在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=30°,求∠1和∠ADC的度数。

分析:由AB=AC,D为BC的中点,可知AB为 BC底边上的中线,由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线,底边上的高,从而∠ADC=90°,∠l=∠BAC,由于∠C=∠B=30°,∠BAC可求,所以∠1可求。

问题1:本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线,其它条件不变,计算的结果是否一样? 问题2:求∠1是否还有其它方法? 三、练习巩固 1.判断下列命题,对的打“√”,错的打“×”。

a.等腰三角形的角平分线,中线和高互相重合( ) b.有一个角是60°的等腰三角形,其它两个内角也为60°( ) 2.如图(2),在△ABC中,已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线,且∠2=25°,求∠ADB和∠B的度数。

3.P54练习1、2。

四、小结 由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等,且都为60°。“三线合一”性质在实际应用中,只要推出其中一个结论成立,其他两个结论一样成立,所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。

五、作业:
1.课本P57第7,9题。

2、补充:如图(3),△ABC是等边三角形,BD、CE是中线,求∠CBD,∠BOE,∠BOC,∠EOD的度数。

§12.3.2 等边三角形(二) 教学目标 1.掌握等边三角形的性质和判定方法. 2.培养分析问题、解决问题的能力. 教学重点:等边三角形的性质和判定方法. 教学难点:等边三角形性质的应用 教学过程 I创设情境,提出问题 回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识 1.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴. 2.等边三角形每一个角相等,都等于60° 3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 其中1、2是等边三角形的性质;
3、4的等边三角形的判断方法. II例题与练习 1.△ABC是等边三角形,以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗,为什么? ①在边AB、AC上分别截取AD=AE. ②作∠ADE=60°,D、E分别在边AB、AC上. ③过边AB上D点作DE∥BC,交边AC于E点. 2. 已知:如右图,P、Q是△ABC的边BC上的两点,,并且PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC的大小. 分析:由已知显然可知三角形APQ是等边三角形,每个角都是60°.又知△APB与△AQC都是等腰三角形,两底角相等,由三角形外角性质即可推得∠PAB=30°. 1. P56页练习1、2 III课堂小结:1.等腰三角形和性质;
等腰三角形的条件 V布置作业:
1.P58页习题12.3第ll题. 2.已知等边△ABC,求平面内一点P,满足A,B,C,P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形.这样的点有多少个? §12.3.2 等边三角形(三) 教学过程 一、 复习等腰三角形的判定与性质 二、 新授:
1.等边三角形的性质:三边相等;
三角都是60°;
三边上的中线、高、角平分线相等 2.等边三角形的判定:
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 注意:推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中,只要有一个角是600,不论这个角是顶角还是底角,就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系. 3.由学生解答课本148页的例子;

4.补充:已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B, ∠ABC=120o, 求证: AB=2BC 分析 由已知条件可得∠ABD=30o, 如能构造有一个锐角是30o的直角三角形, 斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了. B 5、训练:如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形. 分析 由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点,于是有BN=AM,要证明△CNM是等边三角形,只须证MC=CN,∠MCN=60o,所以要证△NBC≌△MAC,由上述已推出的结论,根据边角边公里,可证得△NBC≌△MAC 解题小结 1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析 2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键. 三、小结本节知识 四、作业:课本P58页第13,14题 第 十 三 章 实 数 §13.1平方根 教学目标:
1、了解数的算术平方根及平方根的概念,并会用符号表示;

2、理解平方与开方之间是互为逆运算的关系,会用计算器求一些正数的算术平方根 教学重点:了解数的算术平方根及平方根的概念,会求某些非负数的平方根,会用根号表示一个数的平方根 教学难点:对大小的估算及如何理解是非负数以及被开方数是非负数;
正确区分算术平方根与平方根 第1课时 一、创设情景,导入新课 请同学们欣赏本节导图,并回答问题,学校要举行金秋美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?如果这块画布的面积是? 这个问题实际上是已知一个正数的平方,求这个正数的问题(引入新课) 二、合作交流,解读探究 讨论:1、什么样的运算是平方运算? 2、你还记得1~20之间整数的平方吗? 自主探索:让学生独立看书,自学教材 总结:一般地,如果一个正数的平方为,即,那么正数叫做的算术平方根,记为,读作根号,其中叫做被开方数。

另外:0的算术平方根是0 探究:怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形 把两个小正方形沿对角剪开,将所得的四个直角形拼在一起,就的到一个面积为2的大正方形。

设大正方形的边长为,则;

由算术平方根的意义, 即大正方形的边长为。

讨论:有多大呢? 思考:你能举些象这样的无限不循环小数吗? 三、应用迁移,巩固提高 例1 求下列各数的算术平方根 ⑴100 ⑵ ⑶0.0001 ⑷0 ⑸ 点拨:由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题 思考:-4有算术平方根吗? 备选例题:要使代数式有意义,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 四、总结反思,拓展升华 小结:1、算术平方根的定义和性质;

2、用计算器求一个正数的算术平方根 拓展:已知的算术平方根是3,的算术平方根是4,是的整数部分,求的算术平方根 五、课堂跟踪反馈 1、 非负数的算术平方根表示为___,225的算术平方根是____,0的算术平方根是____ 2、 3、 的算术平方根是_____, 的算术平方根____ 4、 若是49的算术平方根,则=( ) A. 7 B. -7 C. 49 D.-49 5、 若,则的算术平方根是( ) A. 49 B. 53 C.7 D . 6、 若,求的值。

7、 若是的整数部分,是的小数部分,试确定、的值。

8、 一个自然数的算术平方根为,那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______ 第2课时 一、创设情景,导入新课 复习提问:1、什么数的平方是49? 2、平方得81的数有几个?分别是什么? 3、一对互为相反数的平方有什么关系? 交流总结:由问题出发,认识到平方得一个正数的数有2个,并且互为相反数(引入新课) 二、合作交流,解读探究 自主探索:独立看书,自学教材 想一想:到底什么是平方根,它和我们已经认识的算术平方根有何关系? ⑴什么叫一个数的平方根?如何用符号表示? ⑵根据平方根的定义,只有什么数才有平方根? ⑶什么叫开方? [⑴如果一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根或二次方根,用符号表示为:若;
⑵只有非负数才有平方根;
⑶求一个数的平方根的运算叫做开平方运算。] 练一练:求下列数的平方根 ⑴100 ⑵ ⑶0.25 ⑷ ⑸ 0 总结归纳:
1、 正数有两个平方根,它们互为相反数;

2、0的平方根是0;

3、负数没有平方根 讨论:平方根与算术平方根之间有什么关系? 总结:1、平方根与算术平方根之间的区别 ⑴定义不同:如果,那么叫做的平方根。一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
0有一个平方根,是0本身;
负数没有平方根。

如果,并且,那么叫做的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个,非负数的算术平方根一定是非负数 ⑵表示方法不同:正数的平方根表示为;
正数的算术平方根为 ⑶平方根等于本身的数是0;
算术平方根等于本身的数是0或1 2、平方根与算术平方根之间的联系 ⑴二者有着包含关系:平方根中包含算术平方根,算术平方根是平方根中的非负的那一个 ⑵存在条件相同,非负数才有平方根和算术平方根 ⑶0的平方根和0的算术平方根都是0 三、应用迁移,巩固提高 例1 说出下列各数的平方根:
⑴0.04 ⑵ ⑶ ⑷ 例2 说出下列各数的平方根各是什么? ⑴64 ⑵0 ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 点评:要从根本之处理解一个数的平方根的运算,从平方根的概念入手,同时要知道,只有非负数才有平方根 例3 计算 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 四、总结反思,拓展升华 小结 1、平方根的定义及符号表示;
2、平方根与算术平方根的关系 拓展 已知,求:的平方根 五、课堂跟踪反馈 1、 判断下列说法是否正确 ⑴5是25的算术平方根 ( );

⑵是的一个平方根 ( ) ⑶的平方根是-4 ( );

⑷ 0的平方根与算术平方根都是0 ( ) 2、⑴⑵⑶⑷ 3、若,则,的平方根是 4、的平方根是( ) A. B. C. D. 5、给出下列各数:
,其中有平方根的数共有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6、若一个数的平方根等于它本身,数的算术平方根也等于它本身,试求的平方根。

7、求下列各数中的值 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 9、 若,求、的值 10、如果一个正数的两个平方根为和,请你求出这个正数 §13.2 立方根 教学目标:了解立方根的概念,会用符号表示一个数的立方根 教学重点:了解立方根的概念,用立方运算求某些数的立方根;
,会用计算器求某些数的立方根 教学难点:明确平方根与立方根的区别,能熟练地求某些数的立方根 一、创设情景,导入新课 出示一个正方体纸盒,提出问题,如果这个正方体的体积为216 ,那么它每条棱长是多少? 二、合作交流,解读探究 观察 由以上问题,有,即要求一个数,使它的立方等于216,通过分析,有,那么6就是这个正方体的棱长 归纳 如果一个数的立方等于,这个数叫做的立方根(也叫做三次方根),即如果,那么叫做的立方根 探究 根据立方根的意义填空,看看正数、0、负数的立方根各有什么特点? 因为,所以8的立方根是( 2 ) 因为,所以0.125的立方根是( ) 因为,所以8的立方根是( 0 ) 因为,所以8的立方根是( ) 一个正数有一个正的立方根 0有一个立方根,是它本身 一个负数有一个负的立方根 任何数都有唯一的立方根 因为,所以8的立方根是( ) 【总结归纳】 【类比思考】 平方根的表示我们已经很清楚了,那么立方根又该如何表示呢? 【探究说明】 一个数的立方根,记作,读作:“三次根号”,其中叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。例如:表示27的立方根,;
表示的立方根, 【探究】因为所以 = 因为,所以 = 例:求-5的立方根(保留三个有效数字) → 被开方数 → = → 1.709975947 所以 三、应用迁移,巩固提高 例1 求下列各数的立方根 ⑴ -8 ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 例2 计算 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 例3 张叔叔有棱长为的两个正方体纸箱中装满了大米,他将这两箱大米都倒入了另一个新的正方体木箱中,结果正好装满,那么这个新的正方体木箱的棱长大约是多少?(结果精确到) 例4 解方程:
⑴ ⑵ 备选例题 的自变量的取值范围是( ) A. 且 B. C. 且 D.全体实数 四、总结反思,拓展升华 小结 1、立方根的概念和性质;

2、立方根与平方根的异同比较 五、课堂跟踪反馈 1、 当  ≥0 时,有意义;
当 为一切实数 时,有意义 2、 的立方根是 -2 ,的平方根是 ±2 ,的立方根是 -2 3、 -8的立方根与的一个平方根的和等于 1或-5 4、 一个自然数的算术平方根是,那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ,立方根是 5、 解下列方程 ⑴ ⑵ ⑶ 6、已知,且,求的值 §13.3实数 教学目标:了解无理数和实数的概念,知道实数和数轴上的点一一对应,能估算无理数的大小;
了解实数的运算法则及运算律,会进行实数的运算,会用计算器进行实数的运算 教学重点:实数的意义和实数的分类;
实数的运算法则及运算律 教学难点:体会数轴上的点与实数是一一对应的;
准确地进行实数范围内的运算 第1课时 一、创设情景,导入新课 (略) 二、合作交流,解读探究 探究 使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现? 3 , , , , , 我们发现,上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,即 , , , , , 归纳 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数 观察 通过前面的探讨和学习,我们知道,很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数,也是无理数 结论 有理数和无理数统称为实数 试一试 把实数分类 像有理数一样,无理数也有正负之分。例如,,是正无理数,,,是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分,所以实数也可以这样分类:
我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢? 探究 如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O′,点O′的坐标是多少? 总结 1、事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,这就是说,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数 当从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;
反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数 2、 与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示 的实数大 讨论 当数从有理数扩充到实数以后,有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗? 总结 数的相反数是,这里表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身;
一个负实数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0 三、应用迁移,巩固提高 例1 把下列各数分别填入相应的集合里:
四、总结反思,拓展升华 小结 1、什么叫做无理数? 2、什么叫做有理数? 3、 有理数和数轴上的点一一对应吗? 4、 无理数和数轴上的点一一对应吗? 5、 实数和数轴上的点一一对应吗? 五、课堂跟踪反馈 1、下列各数中,是无理数的是( ) A. B. C. D. 2、已知四个命题,正确的有( ) ⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数 ⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 3、下列说法正确的有( ) ⑴不存在绝对值最小的无理数;
⑵不存在绝对值最小的实数;
⑶不存在与本身的算术平方根相等的数;
⑷比正实数小的数都是负实数;
⑸非负实数中最小的数是0 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个 4、⑴的相反数是 ,绝对值是 ;

⑵ ⑶ 1 ;

⑷若,则 (5)是实数,则 2 5、已知实数、、在数轴上的位置如图所示:
O 化简 (答案:) 第2课时 一、创设情景,导入新课 复习导入:1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律 2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律 3、平方差公式、完全平方公式 4、有理数的混合运算顺序 二、合作交流,解读探究 自主探索 独立阅读,自习教材 总结 当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开方运算,任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用。

讨论 下列各式错在哪里? 1、 2、 3、 4、当时, 【练一练】计算下列各式的值:
解:错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

⑴ ⑵ 总结 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的 试一试 计算:
(精确到0.01) · (结果保留3个有效数字) 总结 在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算 【练一练】计算 ⑴⑵⑶⑷ 提示 ⑴式的结构是平方差的形式 ⑶式的结构是完全平方的形式 总结 在实数范围内,乘法公式仍然适用 三、应用迁移,巩固提高 例1 为何值时,下列各式有意义? 例2 计算 ⑴求5的算术平方根于的平方根之和(保留3位有效数字) ⑵(精确到0.01) ⑶ ()(精确到0.01) O 例3 已知实数在数轴上的位置如下,化简 例4 计算 四、总结反思,拓展升华 总结 1、实数的运算法则及运算律。

2、实数的相反数和绝对值的意义 五、课堂跟踪反馈 1、是实数,下列命题正确的是( ) A. ,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 2、如果成立,那么实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3、的相反数是 , 的相反数是 4、当时, , 5、已知、、在数轴上如图,化简 O 课题:11.1.1变量 知识目标:理解变量与函数的概念以及相互之间的关系 能力目标:增强对变量的理解 情感目标:渗透事物是运动的,运动是有规律的辨证思想 重点:变量与常量 难点:对变量的判断 教学媒体:多媒体电脑,绳圈 教学说明:本节渗透找变量之间的简单关系,试列简单关系式 教学设计:
引入:
信息1:当你坐在摩天轮上时,想一想,随着时间的变化,你离开地面的高度是如何变化的? 信息2:汽车以60km/h的速度匀速前进,行驶里程为skm,行驶的时间为th,先填写下面的表格,在试用含t的式子表示s. t/m 1 2 3 4 5 s/km 新课:
问题:(1)每张电影票的售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出票205张,晚场售出票310张,三场电影的票房收入各多少元?设一场电影受出票x张,票房收入为y元,怎样用含x的式子表示y? (2)在一根弹簧的下端悬挂中重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化规律,如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用含重物质量 m(单位:kg)的式子表示受力后弹簧长度l(单位:cm)? (3)要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?圆的面积为20cm2呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r? (4)用10m长的绳子围成长方形,试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们的变化规律,设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S? 在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量(variable).数值始终不变的量为常量。

指出上述问题中的变量和常量。

范例:写出下列各问题中所满足的关系式,并指出各个关系式中,哪些量是变量,哪些量是常量? (1) 用总长为60m的篱笆围成矩形场地,求矩形的面积S(m2)与一边长x(m)之间的关系式;

(2) 购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与购买的铅笔的数量n(支)的关系;

(3) 运动员在4000m一圈的跑道上训练,他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系;

(4) 银行规定:五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y(元)之间的关系。

活动:1.分别指出下列各式中的常量与变量. (1) 圆的面积公式S=πr2; (2) 正方形的l=4a; (3) 大米的单价为2.50元/千克,则购买的大米的数量x(kg)与金额与金额y的关系为y=2.5x. 2.写出下列问题的关系式,并指出不、常量和变量. (1) 某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金,按国家规定,取款时,应缴纳利息部分的20%的利息税,求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式. (2) 如图,每个图中是由若干个盆花组成的图案,每条边(包括两个顶点)有n盆花,每个图案的花盆总数是S,求S与n之间的关系式. 思考:怎样列变量之间的关系式? 小结:变量与常量 作业:阅读教材5页,11.1.2函数 课题:11.1.2函数 知识目标:理解函数的概念,能准确识别出函数关系中的自变量和函数 能力目标:会用变化的量描述事物 情感目标:回用运动的观点观察事物,分析事物 重点:函数的概念 难点:函数的概念 教学媒体:多媒体电脑,计算器 教学说明:注意区分函数与非函数的关系,学会确定自变量的取值范围 教学设计:
引入:
信息1:小明在14岁生日时,看到他爸爸为他记录的以前各年周岁时体重数值表,你能看出小明各周岁时体重是如何变化的吗? 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重(kg) 9.3 11.8 13.5 15.4 16.7 18.0 19.6 21.5 23.2 25 27.6 30.2 32.5 信息2:当你坐在摩天轮上时,随着旋转时间t(min)与你离开地面的高度h(m)之间的关系如图,你能填写下表吗? 时间/min 0 1 2 3 4 5 高度/m 新课:
问题:(1)如图是某日的气温变化图。

① 这张图告诉我们哪些信息? ② 这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这铁的气温变化规律的? (2)收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和赫兹(KHz)为单位标刻的,下表中是一些对应的数:
波长l(m) 300 500 600 1000 1500 频率f(KHz) 1000 600 500 300 200 ① 这表告诉我们哪些信息? ② 这张表是怎样刻画波长和频率之间的变化规律的,你能用一个表达式表示出来吗? 一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有惟一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

范例:例1 判断下列变量之间是不是函数关系:
(5) 长方形的宽一定时,其长与面积;

(6) 等腰三角形的底边长与面积;

(7) 某人的年龄与身高;

活动1:阅读教材7页观察1. 后完成教材8页探究,利用计算器发现变量和函数的关系 思考:自变量是否可以任意取值 例2 一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶里程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km。

(1) 写出表示y与x的函数关系式. (2) 指出自变量x的取值范围. (3) 汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油? 解:(1)y=50-0.1x (2)0≤x≤500 (3)x=200,y=30 活动2:练习教材9页练习 小结:(1)函数概念 (2)自变量,函数值 (3)自变量的取值范围确定 作业:18页:2,3,4题 课题:11.1.3函数图象(一) 知识目标:学会用图表描述变量的变化规律,会准确地画出函数图象 能力目标:结合函数图象,能体会出函数的变化情况 情感目标:增强动手意识和合作精神 重点:函数的图象 难点:函数图象的画法 教学媒体:多媒体电脑,直尺 教学说明:在画图象中体会函数的规律 教学设计:
引入:
信息1:下图是一张心电图, 信息2:下图是自动测温仪记录的图象,他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化二变化,你从图象中得到了什么信息? 新课:
问题:正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2, 你能想到更直观地表示S与x 的关系的方法吗? 一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph)。

范例:例1 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水,有去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小名离家的距离. 根据图象回答问题:
(8) 菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多少时间?;

(9) 小明给菜地浇水用了多少时间? (10) 菜地离玉米地多远?小明从菜地到玉米地用了多少时间? (11) 小明给玉米锄草用了多少时间? (12) 玉米地离小名家多远?小明从玉米地走回家的平均速度是多少? 例2 在下列式子中,对于x的每一确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数,画出这些函数的图象:
(1)y=x+0.5; (2)y= (x>0) 解:
活动1:
教材16页练习1,2题 思考:画函数图象的一般步骤是什么? 小结:(1)什么是函数图象 (2)画函数图象的一般步骤 作业:19:5,7题 课题:11.1.3函数图象(二) 知识目标:学会函数不同表示方法的转化,会由函数图象提取信息 能力目标:正确识别函数图象 情感目标:激发学生的探索精神 重点:利用函数图象解决问题 难点:从函数图象中提取信息 教学媒体:多媒体电脑,直尺 教学说明:在画图象中找函数的规律 教学设计:
引入:
信息1:
信息2:
新课:
函数的表示方法为列表法、解析式法和图形法,这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。

范例:例1 一水库的水位在最近5消耗司内持续上涨,下表记录了这5个小时水位高度. (1) 由记录表推出这5个小时中水位高度y(单位米)随时间t (单位:时)变化的函数解析式,并画出函数图象;

(2) 据估计这种上涨的情况还会持续2个小时,预测再过2个小时水位高度将达到多少米? 解:(1)y=0.05t+10 (0≤t≤7) (2)当t=5+2=7时,y=0.05t+10=10.35 预计2小时后水位将达到10.35米。

思考:函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系? 例2 已知函数y=2x-3,求:
(1)函数图象与x轴、y轴的交点坐标;

(2)x取什么值时,函数值大于1;

(3)若该函数图象和函数y=-x+k相交于x轴上一点,试求k的值. 活动2:在同一直角坐标系中,画出函数y=-x与函数y=2x-1的图象,并求出它们的交点坐标. 练习:教材18页:练习1,2题 小结:(1)函数的三种表示方法;

(2)函数图象上点的坐标与函数关系式之间的关系;

作业:20页8,9,10题 11.2.1 正比例函数 教学目标 (一)教学知识点 1.认识正比例函数的意义. 2.掌握正比例函数解析式特点. 3.理解正比例函数图象性质及特点. 4.能利用所学知识解决相关实际问题. 教学重点 1.理解正比例函数意义及解析式特点. 2.掌握正比例函数图象的性质特点. 3.能根据要求完成转化,解决问题. 教学难点 正比例函数图象性质特点的掌握. 课时安排:两个课时 教学过程 Ⅰ.提出问题,创设情境 一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥뼈မ鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它. 1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)? 2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系? 3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米? 我们来共同分析:
一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:
25600÷(30×4+7)≈200(km) 若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为:
y=200x(0≤x≤127) 这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=200x的值.即 y=200×45=9000(km) 以上我们用y=200x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型. 类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?我们这节课就来学习. Ⅱ.导入新课 首先我们来思考这样一些问题,看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示?这些函数有什么共同特点? 1.圆的周长L随半径r的大小变化而变化. 2.铁的密度为7.8g/cm3.铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的大小变化而变化. 3.每个练习本的厚度为0.5cm.一些练习本摞在一些的总厚度h(cm)随这些练习本的本数n的变化而变化. 4.冷冻一个0℃的物体,使它每分钟下降2℃.物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化. 解:1.根据圆的周长公式可得:L=2r. 2.依据密度公式p=可得:m=7.8V. 3.据题意可知:
h=0.5n. 4.据题意可知:T=-2t. 我们观察这些函数关系式,不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y=200x的形式一样.    一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数(proportional func-tion),其中k叫做比例系数. 我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点,那么它的图象有什么特征呢? [活动一] 活动内容设计:
画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律. 1.y=2x 2.y=-2x 活动过程与结论:
1.函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -6 -4 -2 0 2 4 6 画出图象如图(1). 2.y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应值:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 -6 画出图象如图(2). 3.两个图象的共同点:都是经过原点的直线. 不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,即随着x的增大y也增大;
经过第一、三象限.函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,即随x增大y反而减小;
经过第二、四象限. 尝试练习:
在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较. 1.y=x 2.y=-x x -6 -4 -2 0 2 4 6 y=x -3 -2 -1 0 1 2 3 Y=-x 3 2 1 0 -1 -2 -3 比较两个函数图象可以看出:两个图象都是经过原点的直线.函数y=x的图象从左向右上升,经过三、一象限,即随x增大y也增大;
函数y=- x的图象从左向右下降,经过二、四象限,即随x增大y反而减小. 总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律:
正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线.当x>0时,图象经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;
当k<0时,图象经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小. 正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx. [活动二] 活动内容设计:
经过原点与点(1,k)的直线是哪个函数的图象?画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么? 活动过程及结论:
经过原点与点(1,k)的直线是函数y=kx的图象. 画正比例函数图象时,只需在原点外再确定一个点,即找出一组满足函数关系式的对应数值即可,如(1,k).因为两点可以确定一条直线. Ⅲ.随堂练习 用你认为最简单的方法画出下列函数图象:
1.y=x 2.y=-3x 解:除原点外,分别找出适合两个函数关系式的一个点来:
1.y= x (2,3) 2.y=-3x (1,-3) 小结:
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征,并掌握图象特征与关系式的联系规律,经过思考、尝试,知道了正比例函数不同表现形式的转化方法,及图象的简单画法,为以后学习一次函数奠定了基础. 课后作业 习题11.2─1、2题. Ⅵ.活动与探究 某函数具有下面的性质:
1.它的图象是经过原点的一条直线. 2.y随x增大反而减小. 请你举出一个满足上述条件的函数,写出解析式,画出图象. 解:函数解析式:y=-0.5x x 0 2 y 0 -1 §11.2.2 一次函数(一) 教学目标 (一)教学知识点 1.掌握一次函数解析式的特点及意义.毛 2.知道一次函数与正比例函数关系. 3.理解一次函数图象特征与解析式的联系规律. 4.会用简单方法画一次函数图象. (二)能力训练要求 1.通过类比的方法学习一次函数,体会数学研究方法多样性. 2.进一步提高分析概括、总结归纳能力. 3.利用数形结合思想,进一步分析一次函数与正比例函数的联系,从而提高比较鉴别能力. 教学重点 1.一次函数解析式特点. 2.一次函数图象特征与解析式联系规律. 3.一次函数图象的画法. 教学难点 1.一次函数与正比例函数关系. 2.一次函数图象特征与解析式的联系规律. 课时安排:两个课时 教学过程 Ⅰ.提出问题,创设情境 问题:某登山队大本营所在地的气温为15℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处位置的气温是y℃.试用解析式表示y与x的关系. 分析:从大本营向上当海拔每升高1km时,气温从15℃就减少6℃,那么海拔增加xkm时,气温从15℃减少6x℃.因此y与x的函数关系式为:
y=15-6x (x≥0) 当然,这个函数也可表示为:
y=-6x+15 (x≥0) 当登山队员由大本营向上登高0.5km时,他们所在位置气温就是x=0.5时函数y=-6x+15的值,即y=-6×0.5+15=12(℃). 这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同?它的图象又具备什么特征?我们这节课将学习这些问题. Ⅱ.导入新课 我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示?它们又有什么共同特点? 1.有人发现,在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(℃)有关,即C的值约是t的7倍与35的差. 2.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h减常数105,所得差是G的值. 3.某城市的市内电话的月收费额y(元)包括:月租费22元,拨打电话x分的计时费(按0.01元/分收取). 4.把一个长10cm,宽5cm的矩形的长减少xcm,宽不变,矩形面积y(cm2)随x的值而变化. 这些问题的函数解析式分别为:
1.C=7t-35. 2.G=h-105. 3.y=0.01x+22. 4.y=-5x+50. 它们的形式与y=-6x+15一样,函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和. 如果我们用b来表示这个常数的话.这些函数形式就可以写成:
y=kx+b(k≠0) 一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数(linearfunction).当b=0时,y=kx+b即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 练习:
1.下列函数中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数? (1)y=-8x. (2)y=. (3)y=5x2+6. (3)y=-0.5x-1. 2.一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动,其速度每秒增加2米. (1)一个小球速度v随时间t变化的函数关系.它是一次函数吗? (2)求第2.5秒时小球的速度. 3.汽车油箱中原有油50升,如果行驶中每小时用油5升,求油箱中的油量y(升)随行驶时间x(时)变化的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.y是x的一次函数吗? 解答:
1.(1)(4)是一次函数;
(1)又是正比例函数. 2.(1)v=2t,它是一次函数. (2)当t=2.5时,v=2×2.5=5 所以第2.5秒时小球速度为5米/秒. 3.函数解析式:y=50-5x 自变量取值范围:0≤x≤10 y是x的一次函数. [活动一] 活动内容设计:
画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.并比较两个函数图象,探究它们的联系及解释原因. 引导学生从图象形状,倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象,从而认识两个图象的平移关系,进而了解解析式中k、b在图象中的意义,体会数形结合在实际中的表现. 比较上面两个函数的图象的相同点与不同点。

结果:这两个函数的图象形状都是______,并且倾斜程度_______.函数 y=-6x的图象经过原点,函数 y=-6x+5 的图象与 y轴交于点_______,即它可以看作由直线y=-6x 向_平移__个单位长度而得到.比较两个函数解析式,试解释这是为什么. 猜想:一次函数y=kx+b的图象是什么形状,它与直线y=kx有什么关系? 结论:一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移b绝对值个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;
当b< 0时,向下平移)。

画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象. 过(0,-1)点与(1,1)点画出直线y=2x-1. 过(0,1)点与(1,0.5)点画出直线y=-0.5x+1. [活动二] 活动内容设计:
画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象.由它们联想:一次函数解析式y=kx+b(k、b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响? 结论:
图象:
规律:
当k>0时,直线y=kx+b由左至右上升;
当k<0时,直线y=kx+b由左至右下降. 性质:
当k>0时,y随x增大而增大. 当k<0时,y随x增大而减小. Ⅲ.随堂练习 1.直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______,与y轴交点坐标为_________,图象经过第________象限,y随x增大而_________. 2.分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限? (1)k>0 b>0 (2)k>0 b<0 (3)k<0 b>0 (4)k<0 b<0 解答:
1.(1.5,0) (0,-3) 三、四、一 增大 2.(1)三、二、一 (2)三、四、一 (3)二、一、四 (4)二、三、四 小结 本节学习了一次函数的意义,知道了其解析式、图象特征,并学会了简单方法画图象,进而利用数形结合的探究方法寻求出一次函数图象特征与解析式的联系,这使我们对一次函数知识的理解和掌握更透彻,也体会到数学思想在数学研究中的重要性. 课后作业 习题11.2─3、4、8题. 活动与探究 在同一直角坐标系中画出下列函数图象,并归纳y=kx+b(k、b是常数,k≠0)中b对函数图象的影响. 1.y=x-1 y=x y=x+1 2.y=-2x+1 y=-2x y=-2x-1 过程与结论:
b决定直线y=kx+b与y轴交点的坐标(0,b). 当b>0时,交点在原点上方. 当b=0时,交点即原点. 当b<0时,交点在原点下方. §11.2.2 一次函数(二) 教学目标 (一)教学知识点 1.学会用待定系数法确定一次函数解析式.毛 2.具体感知数形结合思想在一次函数中的应用 (二)能力训练目标 1.经历待定系数法应用过程,提高研究数学问题的技能. 2.体验数形结合,逐步学习利用这一思想分析解决问题. 教学重点:待定系数法确定一次函数解析式. 教学难点:灵活运用有关知识解决相关问题. 教学过程 1.提出问题,创设情境 我们前面学习了有关一次函数的一些知识,掌握了其解析式的特点及图象特征,并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律.如果反过来,告诉我们有关一次函数图象的某些特征,能否确定解析式呢? 这将是我们这节课要解决的主要问题,大家可有兴趣? Ⅱ.导入新课 有这样一个问题,大家来分析思考,寻求解决的办法. [活动] 活动设计内容:
已知一次函数图象过点(3,5)与(-4,-9),求这个一次函数的解析式. 结论:
像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法. 练习:
1.已知一次函数y=kx+2,当x=5时y的值为4,求k值. 2.已知直线y=kx+b经过点(9,0)和点(24,20),求k、b值. 3. 生物学家研究表明,某种蛇的长度y (CM)是其尾长x(CM)的一次函数,当蛇的尾长为6CM时, 蛇的长为45.5CM; 当蛇的尾长为14CM时, 蛇的长为105.5CM.当一条蛇的尾长为10 CM时,这条蛇的长度是多少? Ⅲ.小结 Ⅳ.作业 §11.2.2 一次函数(三) 教学目标 (一)教学知识点 利用一次函数知识解决相关实际问题. (二)能力训练目标 体会解决问题方法多样性,发展创新实践能力。

教学重点 灵活运用知识解决相关问题. 教学难点 灵活运用有关知识解决相关问题. 教学过程 1.提出问题,创设情境 我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式,如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢? 这将是我们这节课要解决的主要问题. Ⅱ.导入新课 下面我们来学习一次函数的应用. 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟.试写出这段时间里她跑步速度y(米/分)随跑步时间x(分)变化的函数关系式,并画出图象. 分析:本题y随x变化的规律分成两段:前5分钟与后10分钟.写y随x变化函数关系式时要分成两部分.画图象时也要分成两段来画,且要注意各自变量的取值范围. 解:y= 我们把这种函数叫做分段函数.在解决分析函数问题时,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符合实际. 例2 A城有肥料200吨,B城有肥料300吨,现要把这些肥料全部运往C、D两乡.从A城往C、D两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元;
从B城往C、D两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元.现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨.怎样调运总运费最少? 通过这一活动让学生逐步学会应用有关知识寻求出解决实际问题的方法,提高灵活运用能力. 教师活动:
引导学生讨论分析思考.从影响总运费的变量有哪些入手,进而寻找变量个数及变量间关系,探究出总运费与变量间的函数关系,从而利用函数知识解决问题. 学生活动:
在教师指导下,经历思考、讨论、分析,找出影响总运费的变量,并认清它们之间的关系,确定函数关系,最终解决实际问题. 活动过程及结论:
通过分析思考,可以发现:A──C,A──D,B──C,B──D运肥料共涉及4个变量.它们都是影响总运费的变量.然而它们之间又有一定的必然联系,只要确定其中一个量,其余三个量也就随之确定.这样我们就可以设其中一个变量为x,把其他变量用含x的代数式表示出来:
若设A──Cx吨,则:
由于A城有肥料200吨:A─D,200─x吨. 由于C乡需要240吨:B─C,240─x吨. 由于D乡需要260吨:B─D,260─200+x吨. 那么,各运输费用为:
A──C 20x A──D 25(200-x) B──C 15(240-x) B──D 24(60+x) 若总运输费用为y的话,y与x关系为:
y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x). 化简得:
y=40x+10040 (0≤x≤200). 由解析式或图象都可看出,当x=0时,y值最小,为10040. 因此,从A城运往C乡0吨,运往D乡200吨;
从B城运往C乡240吨,运往D乡60吨.此时总运费最少,为10040元. 若A城有肥料300吨,B城200吨,其他条件不变,又该怎样调运呢? 解题方法与思路不变,只是过程有所不同:
A──C x吨 A──D 300-x吨 B──C 240-x吨 B──D x-40吨 反映总运费y与x的函数关系式为:
y=20x+25(300-x)+15(240-x)+24(x-40). 化简:y=4x+10140 (40≤x≤300). 由解析式可知:
当x=40时 y值最小为:y=4×40+10140=10300 因此从A城运往C乡40吨,运往D乡260吨;
从B城运往C乡200吨,运往D乡0吨.此时总运费最小值为10300吨. 如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤300的呢? 由于B城运往D乡代数式为x-40吨,实际运费中不可能是负数,而且A城中只有300吨肥料,也不可能超过300吨,所以x取值应在40吨到300吨之间. 总结: 解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量间的关系,选取其中某个变量作为自变量,然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.这样就可以利用函数知识来解决了. 在解决实际问题过程中,要注意根据实际情况确定自变量取值范围.就像刚才那个变形题一样,如果自变量取值范围弄错了,很容易出现失误,得到错误的结论. Ⅲ练习 从A、B两水库向甲、乙两地调水,其中甲地需水15万吨,乙地需水13万吨,A、B两水库各可调出水14万吨.从A地到甲地50千米,到乙地30千米;
从B地到甲地60千米,到乙地45千米.设计一个调运方案使水的调运量(万吨·千米)最少. 解答:设总调运量为y万吨·千米,A水库调往甲地水x万吨,则调往乙地(14-x)万吨,B水库调往甲地水(15-x)万吨,调往乙地水(x-1)万吨. 由调运量与各距离的关系,可知反映y与x之间的函数为:
y=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1). 化简得:y=5x+1275 (1≤x≤14). 由解析式可知:当x=1时,y值最小,为y=5×1+1275=1280. 因此从A水库调往甲地1万吨水,调往乙地13万吨水;
从B水库调往甲地14万吨水,调往乙地0万吨水.此时调运量最小,调运量为1280万吨·千米. Ⅳ.小结 本节课我们学习并掌握了分段函数在实际问题中的应用,特别是学习了解决多个变量的函数问题,为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途,使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性. Ⅴ.课后作业 习题11.2─7、9、11、12题. 11.3.1 一次函数与一元一次方程 1.方程2x+20=0 2.函数y=2x+20 观察思考:二者之间有什么联系? 从数上看:
方程2x+20=0的解,是函数y=2x+20的值为0时,对应自变量的值 从形上看:函数y=2x+20与x轴交点的横坐标即为方程2x+20=0的解 关系:
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为0时,求相应的自变量的值 从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值. 例1 一个物体现在的速度是5m/s,其速度每秒增加2m/s,再过几秒它的速度为17m/s? (用两种方法求解) 解法一:设再过x秒物体速度为17m/s. 由题意可知:2x+5=17 解之得:x=6. 解法二:速度y(m/s)是时间x(s)的函数, 关系式为:y=2x+5. 当函数值为17时,对应的自变量x值可通过 解方程2x+5=17得到x=6 解法三:由2x+5=17可变形得到:
2x-12=0. 从图象上看,直线y=2x-12与x轴的交点为(6,0).得x=6. 例2 利用图象求方程6x-3=x+2的解 ,并笔算检验 解法一:
由图可知直线y=5x-5与x轴交点为(1,0), 故可得x=1 我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等,即可从两个函数图象上看出,直线y=6x-3与y=x+2的交点,交点的横坐标即是方程的解. 解法二:
由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点(1,3),所以x=1 小结 本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手,发现这两个问题实际上是同一个问题,进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b值为0的关系,并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映.经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法.虽然用函数解决方程问题未必简单,但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用 练习:用不同种方法解下列方程:
1.2x-3=x-2. 2.x+3=2x+1. 补充练习1.某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中一家签让合同.设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主的月费用是y1元,应付给出租车公司的月费用是y2元,y1、y2分别是x之间函数关系如下图所示.每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同,是多少元? 2.42:练习1(1)(2) 课后作业 习题11.3─1、2、5、8题. 第十五章 整式的乘法 15.1.1 同底数幂的乘法 教学目的:
1、能归纳同底数幂的乘法法则,并正确理解其意义;

2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算,对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识,并能与加减运算加以区分;
了解公式的逆向运用;

教学重点:同底数幂的乘法法则 难点:底数的不同情形,尤其是底数为多项式时的变号过程 一、创设情境,激发求知欲 课本第140页的引例 二、复习提问 1.乘方的意义:求n个相同因数a的积的运算叫乘方 2.指出下列各式的底数与指数:
(1)34;
(2)a3;
(3)(a+b)2;
(4)(-2)3;
(5)-23. 其中,(-2)3与-23的含义是否相同?结果是否相等?(-2)4与-24呢? 三、讲授新课 1.(课本141页 问题) 利用乘方概念计算:1014×103. 2、 计算观察,探索规律:完成课本第141页的“探索”,学生“概括”am×an=…=am+n;

3、  观察上式,找出其中包含的特征:左边的底数相同,进行乘法运算;

右边的底数与左边相同,指数相加 4、  归纳法则:同底数的幂相乘,底数不变,指数相加。

三、实践应用,巩固创新 例1、计算:
(1)x2 ·x5 (2)a·a6 (3) 2×24×23 (4) xm ·x3m + 1 练习:
1. 课本第142页:(学生板演过程,写出中间步骤以体现应用法则) 2.随堂巩固:下面计算否正确?若不正确请加以纠正。

    ①a6·a6=2a6     ②a2+a4=a6 ③ a2·a4 =a8 例2、计算:
要点指导:
底数中负号的处理;
能化为同底数幂的数字底数的处理;
多项式底数及符号的处理。

例3、  (1)填空:⑴若xm+n×xm-n=x9;
则m= ;

⑵2m=16,2n=8,则2m+n = 。

四、归纳小结,布置作业 小结:1、同底数幂相乘的法则;

2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形;

3、相同的底数可以是单项式,也可以是多项式;

4、要注意与加减运算的区别。

15.1.2 幂的乘方 教学目标:
1、经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义;

2、了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题. 教学重点:幂的乘方的运算性质及其应用. 教学难点:幂的运算性质的灵活运用. 一:知识回顾 1.讲评作业中出现的错误 2.同底数幂的乘法的应用的练习 二:新课引入 探究:根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:
(1)(32)3= 32 × 32 × 32 = 3 ﹝ ﹞ (2)(a2)3 = a2·a2·a2 = a ﹝ ﹞ (3)(am)3 = am·am ·am = a﹝ ﹞ (4)(am)n = = = amn. 观察结果,发现幂在进行乘方运算时,可以转化为指数的乘法运算. 引导学生归纳同底数幂的乘法法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘. 即:(am)n=amn(m、n都是正整数). 二、知识应用 例题 :(1)(103)5;

(2)(a4)4;

(3)(am)2;
(4)-(x4)3;

说明:-(x4)3表示(x4)3的相反数 练习:课本第143页 ( 学生黑板演板) 补充例题:
(1)(y2)3·y (2)2(a2)6-(a3)4 (3)(ab2)3 (4) - ( - 2a 2b)4 说明:(1) (y2)3·y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先乘方,再做乘法,所以,(y2)3·y = y2×3·y = y6+1 = y7;

(2) 2(a2)6-(a3)4按运算顺序应先算乘方,最后再化简.所以,2(a2)6-(a3)4=2a2×6-a3×4=2a12-a12=a12. 三 幂的乘方法则的逆用 . (1)x13·x7=x( )=( )5=( )4=( )10;

(2)a2m =( )2 =( )m (m为正整数). 练习:
1.已知3×9n=37,求n的值. 2.已知a3n=5,b2n=3,求a6nb4n的值. 3.设n为正整数,且x2n=2,求9(x3n)2的值. 四、归纳小结、布置作业 小结:幂的乘方法则. 15.1.3 积的乘方 教学目标:
1、经历探索积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义;

2、了解积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题. 教学重点:积的乘方的运算性质及其应用. 教学难点:积的乘方运算性质的灵活运用. 教学过程:
一. 创设情境,复习导入 1 .前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质,请同学们通过完成一组练习,来回顾一下这两个性质:
(1)  (2) (3)  (4) 2.探索新知,讲授新课 (1)(3×5)7 ——积的乘方 = ——幂的意义 =× ——乘法交换律、结合律 =37×57;

——乘方的意义 (2) (ab)2 = (ab) · (ab) = (a·a) ·(b ·b) = a( ) b( ) (3) (a2b3)3 = (a2b3) · ( a2b3) ·( a2b3) = (a2 ·a2· a2 ) ·(b3·b3·b3) = a( ) b( ) (4) (ab)n = ——幂的意义 =· ——乘法交换律、结合律 =anbn . ——乘方的意义 由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质:
积的乘方,等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 即:(ab)n=an·bn 二、知识应用,巩固提高 例题3 计算 (1)(2a )3;

(2)(-5b)3;

(3)( xy2 )2;

(4)(- 2/3x3)4. (5)(-2xy)4 (6)(2×103 )2 说明:
(5)意在将(ab)n=anbn推广,得到了(abc)n=anbncn 判断对错:下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正?   ①   ②   ③ 练习:课本第144页  三.综合尝试,巩固知识   补充例题:  计算:
  (1)   (2) 四.逆用公式:,即 预备题:(1)   (2) 例题:(1)0.12516·(-8) 17;
(2) (2)已知2m=3,2n=5,求23m+2n的值. (注解):23m+2n=23m·22n=(2m)3·(2n)2=33·52=27×25=675. 四、归纳小结、布置作业 作业:习题 15.1 15.1.4 整式的乘法 (单项式乘以单项式) 教学目标:经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算。

教学重点:单项式与单项式相乘的运算法则的探索. 教学难点:灵活运用法则进行计算和化简. 教学过程:
一. 复习巩固:
同底数幂,幂的乘方,积的乘方三个法则的区分。

二. 提出问题,引入新课 (课本引例):光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗? (1)怎样计算(3×105)×(5×102)?计算过程中用到哪些运算律及运算性质? (2)如果将上式中的数字改为字母,比如ac5•bc2怎样计算这个式子? 说明:(3×105) ×(5×102),它们相乘是单项式与单项式相乘. ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘,我们可以利用乘法交换律,结合律及同底数幂的运算性质来计算:ac5•bc2=(a•b)•(c5•c2)=abc5+2=abc7. 三. 单项式乘以单项式的运算法则及应用 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 例4 (课本例题) 计算:(学生黑板演板) (1)(-5a2b)(-3a);

(2)(2x)3(-5xy2). 练习1(课本)计算:
(1)3x25x3;

(2)4y(-2xy2);

(3)(3x2y)3•(-4x);

(4)(-2a)3(-3a)2. 练习2(课本)下面计算的对不对?如果不对,应当怎样改正? (1)3a3•2a2 = 6a6;

(2)2x2 • 3x2 = 6x4 ;

(3)3x2 • 4x2 = 12x2;

(4)5y3 • y5 = 15y15. 四.巩固提高 (补充例题):
1.(-2x2y)·(1/3xy2) 2.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2) 3.(2×105)2·(4×103) 4.(-4xy)·(-x2y2)·(1/2y3) 5.(-1/2ab2c)2·(-1/3ab3c2)3·(12a3b) 6.(-ab3)·(-a2b)3 7.(-2xn+1yn)·(-3xy)·(-1/2x2z) 8.-6m2n·(x-y)3·1/3mn2·(y-x)2 五.小结作业 方法归纳:
(1) 积的系数等于各系数的积,应先确定符号。

(2) 相同字母相乘,是同底数幂的乘法。

(3) 只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,注意不要把这个因式丢掉。

(4) 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

(5) 单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

作业:课本149页 3 15.1.4 整式的乘法 (单项式乘以多项式) 教学目标:经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算。

教学重点:单项式与多项式相乘的运算法则的探索. 教学难点:灵活运用法则进行计算和化简. 教学过程:
一. 复习旧知 1. 单项式乘单项式的运算法则 2. 练习:9x2y3·(-2xy2) (-3ab)3·(1/3abz) 3. 合并同类项的知识 二、问题引入,探究单项式与多项式相乘的法则 (课本内容):三家连锁店以相同的价格m(单位:元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:瓶)分别是a、b、c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗? 学生独立思考,然后讨论交流.经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量,再求总收入,为:m(a+b+c). 另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入,再求它们的和,即:ma+mb+mc. 由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此 m(a+b+c)=ma+mb+mc. 学生归纳:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加 . 引导学生体会:单项式与多项式相乘,就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘, 三.讲解例题 1. 例题5(课本) 计算:
(1)(-4x2)(3x+1);

(2) 2 .补充例题1:
化简求值: (-3x)2 - 2x ( x+3 ) + x·x +2x ·(- 4x + 3)+ 2007 其中:x = 2008 练习:课本146页 1、2 3.补充练习:
计算 1.2ab(5ab2+3a2b);

2.(ab2-2ab)· ab;

3.-6x(x-3y);

4.-2a2(ab+b2). 5.(-2a2)·(1/2ab + b2) 6. (2/3 x2y - 6x y)·1/2xy2 7. (-3 x2)·(4x 2- 4/9x + 1) 8 3ab·( 6 a2b4 -3ab + 3/2ab3 ) 9. 1/3xny ·(3/4x2-1/2xy-2/3y-1/2x2y) 10. ( - ab)2 ·( -3ab)2·(2/3a2b + a3·a2·a -1/3a ) 四.小结归纳,布置作业:
作业:课本第149页 4 15.1.4 整式的乘法(多项式乘以多项式) 教学目标:经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算. 教学重点:多项式与多项式相乘的运算法则的探索 教学难点:灵活运用法则进行计算和化简. 教学过程:
m n a b bn bm am an 一.复习旧知 讲评作业 二.创设情景,引入新课 (课本)如图,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长a米、宽m米的长方形绿地,增长了b米,加宽了n米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积? 一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积,再求它们的和,即(am+an+bm+bn)米2. 另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽,然后利用长乘以宽得出大长方形的面积,即(a +b)(m+n)米2. 由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此 (a +b)(m+n)= am+an+bm+bn. 教师根据学生讨论情况适当提醒和启发,然后对讨论结果(a +b)(m+n)=am+an+bm+bn进行分析,可以把m+n看做一个整体,运用单项式与多项式相乘的法则,得 (a +b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n), 再利用单项式与多项式相乘的法则,得 a(m+n)+b(m+n)= am+an+bm+bn. 学生归纳:多项式与多项式相乘,就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 三、应用提高、拓展创新 例6(课本):计算 (1)(3x+1)(x+2) ; (2) (x -8y)(x-y) ; (3) (x+y)(x2-xy+y2) 进行运算时应注意:不漏不重,符号问题,合并同类项 练习:(课本)148页 1 2 补充例题:
1. (a+b)(a-b)-(a+2b)(a-b) 2. (3x4-3x2+1)(x4+x2-2) 3. (x-1)(x+1)(x2+1) 4. 当a=-1/2时,求代数式 (2a-b)(2a+b)+(2a-b)(b-4a)+2b(b-3a)的值 四.归纳总结,布置作业 课本 149页 5 15.2.1 平方差公式 教学目标:经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算. 教学重点:平方差公式的推导和应用. 教学难点:灵活运用平方差公式解决实际问题. 过程:
一. 创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容 活动1 知识复习 多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 活动2 计算下列各题,你能发现什么规律? (1)(x+1)(x-1);

(2)(a+2)(a-2);

(3)(3-x)(3+x);

(4)(2m+n)(2m-n). 再计算:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. 得出平方差公式 (a+b)(a-b)= a2-b2.即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差. 活动3 请用剪刀从边长为a的正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形(如图1),然后拼成如图2的长方形,你能根据图中的面积说明平方差公式吗? 图1 图2 图1中剪去一个边长为b的小正方形,余下图形的面积,即阴影部分的面积为 (a2-b2). 在图2中,长方形的长和宽分别为(a+b)、(a-b),所以面积为 (a+b)(a-b). 这两部分面积应该是相等的,即(a+b)(a-b)= a2-b2. 二、知识应用,巩固提高 例1 计算:
(1)(3x+2)(3 x-2);

(2)(-x+2y)(-x-2y) (3)(b+2a)(2a-b);

(4)(3+2a) (-3+2a) 练习:加深对平方差公式的理解 (课本 153页练习1有同种题型) 下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是( ) (1)(x+1)(1+x);

(2)(a+b)(b-a);

(3)(-a+b)(a-b);

(4)(x2-y)(x+y2);

(5)(-a-b)(a-b);

(6)(c2-d2)(d 2+c2). 例题2:计算 (1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (3)(a+b+c)(a-b+c)(补充) (4) 20042-20032(补充) (5) (a + 3 )(a - 3)( a2 + 9 ) (补充) 说明:(3)意在说明公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式 (4) 意在说明公式的逆用 练习:课本153页 2 四、归纳小结、布置作业 课本习题 156 页 习题 1 ;

5 15.2.2 完全平方公式 (第1课时) 教学目标:完全平方公式的推导及其应用;
完全平方公式的几何背景;
体会公式中字母的广泛含义,它可以是数,也可以是整式. 教学重点:(1)完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释;

(2)完全平方公式的应用. 教学难点:完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用. 教学过程:
一、 激发学生兴趣,引出本节内容 活动1 探究,计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 =(p+1)(p+1)=_________;

(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=_________;

(3)(p-1)2 =(p-1)(p-1)=_________;

(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=_________. 答案:(1)p2+2p+1;

(2)m2+4m+4;

(3)p2-2p+1;

(4)m2-4m+4. 活动2 在上述活动中我们发现(a+b)2=,是否对任意的a、b,上述式子都成立呢? 学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算,观察计算结果,寻找一般性的结论,并进行归纳,用多项式乘法法则可得 (a+b)2=(a+b)(a+b)= a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)=a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2. 二、问题引申,总结归纳完全平方公式 两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍,即 (a + b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2. 在交流中让学生归纳完全平方公式的特征:
(1)左边为两个数的和或差的平方;

(2)右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍. 活动4 你能根据教材中的图15.2-2和图15.2-3中的面积说明完全平方公式吗? 三.例题讲解,巩固新知 例3:(课本)运用完全平方公式计算 (1) (4m+ n)2 ; (2) (y-1/2)2 补充例题:运用完全平方公式计算 (1)(-x+2y)2;

(2)(-x-y)2;

(3) ( x + y )2-(x-y)2. 说明:(1)题可转化为(2y-x)2或(x-2y)2,再运用完全平方公式;

(2)题可以转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式;

(3)题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算. 例 4:(课本) 运用完全平方公式计算 (1)1022;

(2)992. 思考:(a+b)2与(-a-b)2相等吗?为什么? (a-b)2与(b-a)2相等吗?为什么? (a-b)2与a2-b2相等吗?为什么? 练习:课本155页 1 ;
2 补充例题:
(1) 如果x 2 + kxy + 9y2是一个完全平方式,求k的值 (2) 已知x+y=8,xy=12,求x2 + y2 ;

(x - y )2的值 (3) 已知 a + 1/a = 3 ,求 a2 + 1/a2 四、归纳小结、布置作业 小结:完全平方公式. 作业:课本156 页 习题 2 ;

6;

7 15.2.2 完全平方公式(第2课时) 教学目标:熟练掌握完全平方公式及其应用,理解公式中添括号的方法 重点:添括号法则及完全平方公式的灵活应用 难点:添括号法则及完全平方公式的灵活应用 内容:
一 复习旧知,引入添括号法则 去括号法则:a +(b+c) = a+b+c a -(b+c) = a - b - c 添括号法则:a+b+c = a +(b+c) a - b - c = a -(b+c) 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;
如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号。

练习:(课本156页 练习 1 有同种类型题) a + b -c = a +(b - c ) = a - (- b + c ) a - b + c = a + ( - b + c ) = a - ( b - c ) 二 讲解例题,巩固新知 例题5 运用乘法公式计算:(课本) (1)( x + 2y - 3 ) ( x -2y + 3) (2)(a + b +c )2. 练习 :
课本 156页 练习 2 三 补充例题,开阔眼界 1 利用乘法公式化简求值题 (2x + y )2 - ( x + y )(x – y) ,其中x = 1 ,y = - 2 2 乘法公式在解方程和不等式中的应用 ①已知(a +b )2 = 7 ,( a - b )2 = 4 求 a 2+ b 2 和 ab的值 ②解不等式:
( 2x -5 ) (- 5 -2x) + (x + 5 )2﹥ 3x (- x + 2 ) 3 与三角形知识相结合的应用 已知三角形ABC的三边长a 、b、c ,满足a2 + b2 + c2- ab – bc - ac = 0,试判断三角形的形状。

四 总结归纳,布置作业 添括号法则 作业:
课本 157页 3 ;
4;
5;
8;
9;
(根据学生情况酌定) 15. 3. 1 同底数幂的除法 教学目标:
1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力。

2、了解同底数幂的除法的运算性质,并能解一些实际问题。

教学重点:公式的实际应用。

教学难点:a0=1中a≠0的规定。

教学过程:
一、 探索同底数幂的除法法则 1、根据除法的意义填空,并探索其规律 (1)5 5÷5 3=5( ) (2)107÷105=10( ) (3)a6÷a3=a( ) 推导公式:a m ÷a n = a m - n(a≠0,m、n为正整数,且m>n) 归纳:同底数幂相除,底数不变,指数相减。

2、比较公式 a m·an=am + n (am)n= am n (ab)m = a m bm am ÷an =am - n 比较其异同,强调其适用条件 二、 实际应用 例1:计算 (1)x8÷x2 (2)a4÷a (3)(ab)5÷(ab)2 例2:一种数码照片的文件大小是28 K,一个存储量为26 M(1M=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片? 解:26 M=26×210 K=216 K 216÷28=28(张)=256(张) 三、 探究a0的意义 根据除法的意义填空,你能得什么结论? (1)32÷32= (2)103÷103= (3)am÷am= (a≠0) 由除法意义得:am÷an=1 (a≠0) 如果依照am÷am=am - m=a0 于是规定:a0=1 (a≠0) 即任何不等于0的数的0次幂都等于1 四、练习:P160 1、2、3 五、作业:P164 习题15.3 1、4、5、7 15.3. 2 整式的除法(1) 教学目标:经历探索单项式除以单项式法则的过程,会进行单项式除以单项式的运算。

教学重点:运用法则计算单项式除法 教学难点:法则的探索 教学过程:
一、提出问题,引入新课] 问题:木星的质量约是1.90×1024吨,地球的质量约是5.98×1021吨,你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗? 如何计算:(1.90×1024)÷(5.98×1021),并说明依据。

二、讨论问题,得出法则 讨论如何计算:
(1)8a3÷2a (2)6x3y÷3xy (3)12a3b3x3÷3ab2 [注:8a3÷2a就是(8a3)÷(2a)] 由学生完成上面练习,并得出单项式除单项式法则。

单项式除以单项式法则:
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

三、法则的应用 例1:计算 (1)28x4y2÷7x3y (2)-5a5b3c÷15a4b 练习:P162 1、2 例2:计算下列各题 (1)(a+b)4÷(a+b)2 (2)[(x-y)3]3÷[(y-x)2]4 (3)(-6x2y)3÷(-3xy)3 例3:当x=-2,y=1/4时,求代数式:
(-4x2)÷(-4x)2+12x3y2÷(-4x2y)-24x4y3÷(-4x3y2)的值 例4:已知 5m=3 25m=11,求 5 3m - 2n的值。

四、归纳小结,布置作业 本节所学法则可与前面所学的三个法则比较,理解并记忆。

五、学校作业:P164 2、4、5、6 补充作业:
1、月球距离地球大约3.84×105km,一架飞机的速度约为 8×102km/h,如果坐此飞机飞行这么远的距离,大约需要多长时间? 2、观察下面一列式子,根据你所看到的规律进行填空:
a,-2a2,4a2,-8a2,……,第10项为 ,第n项为 。

3、已知am=4,an=3,ak=2 则am - 3k + 2n= 4、16m÷4n÷2等于( ) (A)2m-n-1 (B)22m-n-2 (C)23m-2n-1 (D)24m-2n-1 15. 3. 3 整式的除法(2) 教学目标:经历探索多项式除以单项式法则的过程,会进行多项式除以单项式的运算。

教学重点:运用法则计算多项式除以单项式。

教学难点:
(1)法则的探索;

(2)法则的逆应用;

教学过程: 一、复习旧知: 计算: (1)am÷m+bm÷m (2)a2÷a+ab÷a (3)4x2y÷2xy+2xy2÷2xy 二、探索多项式除以单项式法则 计算:(am+bm)÷m,并说明计算的依据 ∵(a+b)m = am+bm ∴(am+bm)÷m=a+b 又am÷m+bm÷m=a+b 故(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m 用语言描述上式,得到多项式除以单项式法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。

根据法则:(a2+ab)÷a= + 三、实践应用 例1:计算 (1)(4x2y+2xy2)÷2xy (2)(12a3-6a2+3a)÷3a (3)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y) (4)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x 练习:P163 (1)(2)(3)(4) 例2:计算 (1)(2/5a3x4-0.9ax3)÷3/5ax3 (2)(2/5x3y2-7xy2+2/3y3)÷2/3y2 例3:化简求值 (1)(x5+3x3)÷x3-(x+1)2 其中x=-1/2 (2)[(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y 其中x=2,y=1 四、归纳小结,布置作业 P164 3 8 思考题:
(1) ÷(-4x2)=-3x2+4x-2 (2)长方形的面积为4a2-6ab+2a,若它的一个边长为2a,则它的周长是 。

(3)已知3n+11m能被10整除,求证:3n+4+11m+2能被10整除。

15. 4.1 提公因式法 教学目标:
1、理解因式分解的概念。

2、会确定多多项式的公因式。

3、会用提公因式法分解因式。

教学重点:用提公因式法分解因式 教学难点:公因式的确定 教学过程:
一、分解因式(因式分解)的概念 计算:
(1)x(x+1) (2)(x+1)(x-1) (学生练习,并演板) x(x+1)=x2+x (x+1)(x-1)=x2-1 上面二式都是整式乘法,即把整式的乘积化为多项式的形式。

反过来:x2+x=x(x+1) x2-1=(x+1)(x-1) 即把多项式化为整式积的形式。

因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做这个多项式因式分解(或分解因式)。

因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即它们互为逆运算。

判断下列各式由左边到右边的变形中,哪些是因式分解:
(1)6=2×3 (2)a(b+c)=ab+ac (3)a2-2a+1=a(a-2)+1 (4)a2-2a=a(a-2) (5)a+1=a(1+1/a) 二、提公因式法 1、公因式 多项式ma+mb+mc中,各项都有一个公共的因式m,称为该多项式的公因式。

一般地,一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。

指出下列各多项式的公因式 (1)8a3b2+12ab3c (2)8m2n+2mn (3)-6abc+3ab2-9a2b 通过以上各题,你对确定多项式的公因式有什么方法?(学生归纳、总结) 2、提公因式法 由m(a+b+c)=ma+mb+mc,得到ma+mb+mc+=m(a+b+c),其中,一个因式是公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

三、例1:把(1)2a2b-4ab2 (2)8a3b2+12ab3c分解因式 解:(1)2a2b-4ab2 =2ab×a-2ab×2b =2ab(a-2b) (2)8a3b2+12ab3c =4ab2×2a2+4ab2×3bc =4ab2(2a2+3bc) 练习:P167 1(1)(2) 例2:把2a(b+c)-3(b+c)分解因式 练习:P167 1(3)(4) 2 例3:用简便方法计算 (1)9992+999 (2)20072-2006×2007 练习:P167 3 四、归纳小结,布置作业 (1)分解因式 (2)确定公因式 (3)提公因式方法 P170 习题 15.4 1 6 补充练习:
1、分解因式:
(1)m2(a-2)+m(2-a) (2)m-n-mn+1 (3)a2n-an (4)(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a) 2、计算:210-29-28 3、已知a-b=3,ab=-1,求a2b-ab2 4、若a为实数,则多项式a2(a2-1)-a2+1的值( ) A、不是负数 B、恒为正数 C、恒为负数 D、不等于0 5、证明:817-279-913能被45整除 6、若关于x的二次三项式3x2-mx+n分解因式结果为(3x+2)(x-1),则m= ,n= 。

15. 4.2 公式法(1) 教学目标:
(1)进一步理解分解因式的概念。

(2)能熟练运用平方差公式分解因式。

教学重点:把符合公式形式的多项式写成平方差的形式,并分解因式。

教学难点:(1)确定多项式中的a、b;(2)分解彻底; 教学过程:
一、 复习巩固 1、什么叫分解因式? 2、用提公因式法分解因式 (1)2xy-4y (2)-2x(x+1)+(x+1)2 二、用平方差公式分解因式 把公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来就得到 a2-b2=(a+b)(a-b) 该公式用语言叙述为:
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积。

注:(1)使用平方差公式分解因式时,必须先把原多项式写成两“数”平方差的形式,再分解因式,即用公式分解因式时,必须认准其中的“a”与“b”。

(2)公式中的a、b即可以是单项式,也可以是多项式。

三、公式的应用 例1:分解因式 (1)4x2-9 (2)(x+p)2-(x+q)2 解:(1)4x2-9 =(2x)2-32 =(2x+3)(2x-3) (2)(x+p)2-(x+q)2 =[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q) 练习P168 1 2 例2:分解因式 (1)x4-y4 (2)a3b-ab 注:分解因式,必须进行到每一个进行因式都不能再分解为止。

练习:分解因式 (1)a3-a (2)-(1+xy)2+(1-xy)2 (3)x2(x-y)+y2(y-x) (4)1-x4 (5)2x2-8 (6)m2(a-2)+m(2-a) (7)m2-n2+2m-2n 四、小结 (1)应用平方差公式分解因式,必须认准的a与b。

(2)分解因式必须彻底。] (3)有公因式的先提公因式,再用公式分解。

五、作业:P171 2 7 15. 4. 3 公式法(2) 教学目标:熟练应用完全平方公式分解因式 教学重点:把多项式写成符合公式的形式,并分解因式。

教学难点:(1)辨认多项式中的“a”与“b”;
(2)分解到底。

教学过程:
一、复习平方差公式,并练习下列各题 (1)-a2+b2 (2)(x+2)2-(x-2)2 (3)2a-8a2 二、用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 反过来,得到:
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 注:(1)形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式,说出它们的特点。

(2)利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。

(3)上面两个公式用语言叙述为:
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方。

三、例题或练习:
1、下列多项式是不是完全平方式?为什么? (1)a2-2a+1 (2)a2-4a+4 (3)a2+2ab-b 2 (4)a2+ab+b2 (5)9a2-6a+1 (6)a2+a+1/4 2、分解因式 (1)16x2+24x+9 (2)-x2+4xy-4y2 解:16x2+24x+9 =(4x)2+2·4x·3+32 [a2+2·a·b+b2] =(4x+3)2 [(a+b)2] 3、分解因式 (1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36 练习:P170 2(1)――(6) 四、归纳小结,布置作业 (1)用完全平方公式分解因式时,必须认准a与b。

(2)分解因式要“完全彻底”。

作业:P171 3 5 9 15. 4. 4 习题课 教学目标:综合应用提出因式法和公式法分解因式 教学重点:(1)熟练应用分解因式的两种方法分解因式;

(2)两种方法的综合应用; 教学难点:(1)选择恰当的分解方法;
(2)把多项式分解彻底; 教学过程:
一、分解因式有哪些方法?你认为在使用这些方法时,应注意什么? 二、例题或练习 1、下边从左到右的变形,是因式分解的有 。

(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2)a2-2ab+b2=(b-a)2 (3)x2-4x+5=(x-2)2+1 (4)x2-4x+5=x(x-4)+5 (5)(x+3)(x-3)=x2-9 (6)-ma+mb-mc=-m(a+b+c) 2、-m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x)的公因式是( ) 3、下列各式能用完全平方公式分解因式的是( ) A、x2+4y2 B、x2-2xy+4y 2 C、-x2-4xy+4y2 D、(x-y)2-10(y-x)+25 4、填空:
(1)-1/9a2+1/4=( )2-( )2 (2)4x2+1+ =( +1)2 (3)1/9x2+ +1/4y2=(9/3x-1/2y)2 (4)若x2+kx+64是完全平方式,则k的值为 。

(5)x2+5x+ =( )2 5、把下列各式分解因式:
(1)a4+3a2 (2)5(a-2)3-3(2-a)2 (3)(x-2)2-x+2 (4)a(a-b-c)+b(b+c-a) (5)(a-b)2(a+b)3-(b-a)3(b+a)2 (6)-2xy+6x2y2-8x2y 6、把下列各式分解因式:
(1)1/2x2-2y2 (2)-6a-a2-9 (3)(1/36x-1/3)x+1 (4)(a+b)2-4(a+b-1) (5)x2+8x(x+1)+16(x+1)2 (6)2(a2+b2)(a+b)2-(a2-b2)2 (7)x3+x2+0.25x (8)(x2-x)2+1/2(x2-x)+1/16 (9)x3-x2+4 7、(1)求证对于任意自然数n,2n+4 -2n是30的倍数。

(2)求证:248 -1可以被63和65整除。

作业:P 171 4 6 8 10 课外作业:P173 数学活动 1 2 15. 4. 5 十字相乘法(二次项系数为1) 教学目标:
使学生理解并掌握二次项系数为1的二次三项式的因式分解。

教学重点:准确、迅速进行十字相乘分解因式。

教学难点:p与q异号的情形。

教学过程:
一、复习巩固 课本:P148练习2,观察规律,得到 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 反过来,有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 它告诉我们:对于二次项系数为1的二次三项式,如果它的常数项能够分解成两个因数,并且它们的和恰好等于一次项系数,那么,它就可以分解成两个一次因式的积。

如:x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2) X2+(-1+2)x+(-1)×2=(x-1)(x+2) 二、例题与练习 例1:分解因式 x2+6x+8 解:x2+6x+8=x2+(2+4)x+2×4 =(x+2)(x+4) 熟练后,中间步骤可省去。

练习:分解因式 (1)x2+7x+12 (2)x2+12x+20 例2:分解因式 x2-8x+15 分析:因为-8为负数,所以15应分解为两个负数之积。

解:x2-8x+15 =x2+[(-3)+(-5)]x+(-5)×(-3) =[x+(-3)][x+(-5)] =(x-3)(x-5) 练习:分解因式:(1)x2-3x+30 (2)x2-8x+12 例3:分解因式 (1)x2-3x-10 (2)x2+9x-10 分析(由学生分析,解答) 练习:分解因式 (1)x2-3x-4 (2)x2+10x-24 (3)a2+a-20 (4)a2-9a-36 例4:分解因式 (1)x2-7xy-18y2 (2)x2y2+7xy-44 (3)x2-20xy+96y2 (4)a4-21a2-100 例5:分解因式 (1)-a2+6ab-9b2 (2)-x2-3x+4 (3)x-x2+42 (4)x2(x2-20)+64 (5)3x2y2-9xy-12 (6)(x2+x)2-14(x2+x)+24 (7)(x2+x)(x2+x-1)-2 例6:求证:四个连续自然数的乘积与1的和一定是某个自然数的平方。

作业:课本P 172 (1)(2)(3)(4) 15. 4. 6 小结与复习 教学目标:把握本章知识脉络,掌握本章基础知识。

教学重点:(1)整的乘除法;(2)因式分解; 教学难点:
(1)正确使用公式;
(2)逆用公式解题;

教学过程:
一、本章知识结构图:
整式乘法 乘法公式 整式除法 分解因式 二、回顾与思考:
1、幂的运算性质是整式乘除法的基础,单项式的乘除是整式乘除的关键,举例说明怎样将多项式乘(除以)单项式,多项式乘多项式转化为单项式的乘除。

2、把一些特殊形式的多项式乘法写成公式的形式,可以简化运算,本章学习了哪些乘法公式?你能从图形角度解释公式的合理性吗? 3、举例说明因式分解与整式乘法之间的关系,你学习了哪几种分解因式的方法?请举例说明。

三、例题与练习:
(一)1、-x2(-x)2(-x)3= 2、(-x5)+(-x7)5= 3、已知xn=5,yn=3,则(x2 y)2n值为 4、(-x)9÷x4÷(-x)3= (二)计算下列各题 1、(9/4×102)×(25×103)2×(-2×106)2 2、(4x4 y)(-xy3 )5 3、当a=-3/4时,求-2a(3a2-4a-1)-a(-6a2 +5a-2)的值。

4、若(x+a)(x2-6x+b)的展开式中,不含x2次和x项,则a= ,b= 。

5、(a+2)2-2a(a+2) 6、(x+3)(x+4)-x(x+2)-5 7、若x-y=2,x2 -y2 =10,则x+y= 8、(2m+1)(2m-1)(4m2+1)= 9、(x+2y-1)(x+1-2y)= 10、(-x-1/2)2= 11、若(x+y)2 =9,(x-y)2 =5,则xy= 12、若a2 +ma+9是完全平方式,那么m= 13、a2 +b2 =(a+b)2 - 14、(y+3)2-(3-y)2 = 15、(6×106 )÷(-3×103 )= 16、16m ÷4m ÷2=2( ) 17、(2/5x2 y2 -7xy2 +2/3y3 )÷2/3y2 18、长方形面积为4a2 -6ab+2a,一边长为2a,则周长 是 三、分解因式 1、4x3 -6x2 = 2、m(a-b)-n(b-a)= 3、m2 -36 m2 = 4、(2x+y)2 -(x+2y)2 = 5、p4 -1= 6、若x2 -2(m+3)x+16是完全平方式,则m的值为 7、a2 -2a(b+c)+(b+c)2 8、1/2x2 -xy+1/2y2 9、xy2 -2xy+x 10、a2 b2 -a2 -b2 -1 11、(x+y)2 -2(x2 -y2 )+(x-y)2 12、x2 -5x+6 13、x2 -5x-6 14、x2 +5x-6 15、2x2 -20x+50 16、(a+2)(a-8)+25 17、a2 +2ab+b2 +4a+4b+4 18、已知a-b=3,ab=-1,求a2 b-ab2 的值。

19、证明:817 -279 -913 能被45整除。

20、已知:a、b为自然数且a2 -b2 =45,求a、b的值。

21、若x2 +y2 +2x-8y+17=0,求y/x的值。

22、若一个三角形边长为a、b、c,且a2 +2b2 +c2 -2ab-2bc=0,试判断该三角形的形状,并说明理由。

23、若非零实数a、b满足4a2 +b2 =4ab,求b/a的值。

24、若两个两位数的十位数字相同,而它们的个位数字之和为10,研究它们积的规律,并证明你的结论。

作业:P175 复习题15 思考题:
(1)设y=(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+10 证明:不论x取任何实数,y的值总大于0。

(2)分解因式:x2+4xy+4y2-4x-8y+3 (3)①若a2+ba+12能分解为两个一次因式的乘积,且b为整数,则b= 。

②若a+12a+b能分解为两个一次因式的乘积,且b为正整数,则b= 。

(4)在实数范围内分解因式 ①x2-3 ②5x2-4 (5)证明:两个相邻奇数的平方差是8的倍数。

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