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二次根式的有关概念 [二次根式的概念与性质]

发布时间:2019-07-11 17:12:49 影响了:

二次根式的概念与性质 阅读与思考 式子叫做二次根式,二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础,主要有:
1..说明了与、2一样都是非负数. 2.=(≥0).解二次根式问题的基本途径——通过平方,去掉根号有理化. 3. 揭示了与绝对值的内在一致性. 4. (≥0,≥0) . 5 .(≥0,>0).给出了二次根式乘除法运算的法则. 6.若>>0,则>>0,反之亦然,这是比较二次根式大小的基础. 运用二次根式性质解题应注意:
(1)每一性质成立的条件,即等式中字母的取值范围;

(2) 要学会性质的“正用”与“逆用”,既能够从等式的左边变形到等式的右边,也能够从等式的右边变形到等式的左边. 例题与求解 【例1】设,都是有理数,且满足方程,那么的值是____________. (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路:将等式整理成有理数、无理数两部分,运用有理数和无理数的性质解题. 【例2】 当1≤≤2,经化简,=___________. 解题思路:从化简被开方数入手,注意中≥0的隐含制约. 【例3】若>0,>0,且,求的值. (天津市竞赛试题) 解题思路:对已知条件变形,求,的值或探求,的关系. 【例4】若实数,,满足关系式:
,试确定的值. (北京市竞赛试题) 解题思路:观察发现(-199+)与(199--)互为相反数,由二次根式的定义、性质探索解题的突破口. 【例5】已知,求++的值. (山东省竞赛试题) 解题思路:题设条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试. 【例6】在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为,,,求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积. (1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上:_________. (2)我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法.若△ABC三边的长分别为,2,(>0),请利用图2中的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的△ABC,并求出它的面积. (3)若△ABC三边的长分别为,,2 (>0,>0,且≠)试运用构图法求出这个三角形的面积. (咸宁市中考试题) 解题思路:本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识,不规则三角形的面积,可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得. 图1 图2 能力训练 A级 1.要使代数式有意义.则的取值范围是_____________. (“希望杯”邀请赛试题) 2.阅读下面一题的解答过程,请判断是否正确?若不正确,请写出正确的解答. 已知为实数,化简. 解:原式=. 3.已知正数,,有下列命题:
(1)若=1,=1,则1;

(2)若=,=,则;

(3)若=2,=3,则;

(4)若=1,=5,则3. 根据以上命题所提供的信息,请猜想:若=6,=7,则________. (黄冈市竞赛试题) 4.已知实数,,满足,则(+)的值为_______. 5.代数式的最小值是( ). A.0 B.1+ C.1 D.不存在 6.下列四组根式中是同类二次根式的一组是( ). A.和2 B.3和3 C.和 D.和 (“希望杯”邀请赛试题) 7.化简的结果是( ) . A.6-6 B.-6+6 C.-4 D.4 (江苏省竞赛试题) 8.设是一个无理数,且,满足--+l=0,则是一个( ). A.小于0的有理数 B.大于0的有理数 C.小于0的无理数 D.大于0的无理数 (武汉市竞赛试题) 9.已知,其中≠0,求的值. (山东省中考试颗) 10.已知与的小数部分分别是,,求的值. (浙江省竞赛试题) 11.设,,为两两不等的有理数. 求证:为有理数. (北京市竞赛试题) 12.设,都是正整数,且使,求的最大值. (上海市竞赛试题) B级 1.已知,为实数,y=,则5+6=_________. 2.已知实数满足,则-19992=___________. 3.正数,满足+4-2-4+4=3,那么的值为_______. (北京市竞赛试题) 4.若,满足3=7,则=的取值范围是________. (全国初中数学联赛试题) 5.已知整数,满足+2=50,那么整数对(,)的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (江苏省竞赛试题) 6.已知=1,那么代数式的值为( ) A. B.- C.- D. (重庆市中考试题) 7.设等式在实数范围内成立,其中,,是两两不同的实数.则代数式的值为( ) . A.3 B. C.2 D. 8.已知,则的值为( ) . A.3 B.4 C.5 D.6 9. 设,,是实数,若++=2+4+6-14,求 的值. (北京市竞赛试题) 10.已知3=3=cz3,++=1,求证:++. 11.已知在等式中,,,,都是有理数,是无理数.求:
(1)当,,,满足什么条件时,是有理数, (2)当,,,满足什么条件时,是无理数. (“希望杯”邀请赛试题) 12.设=,求不超过的最大整数[s]. 13.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC,EC,已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=. (1)用含的代数式表示AC+CE的长;

(2)请问点C满足什么条件是AC+CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值. (恩施自治州中考试题)

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